Chapitre 5/ Primitives – Intégration

Interprétation géométrique

Considérons la fonction \(f\) définie sur \(\left[ {a,b} \right] = \left[ {1;3} \right]\) par \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 3\).

Voici la courbe représentative de \(f\) :

Unnamed Image

Désignons par \(A\) l’aire en bleu clair sous la courbe bleue.

Découpons l’intervalle \(\left[ {a,b} \right]\) en \(n\) intervalles plus petits de longueur \(\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\) :

\(\begin{gathered}\)

• {x_0} = a \$

• {x_1} \$

• {x_2} \$

• \$

• {x_i} \$

• {x_{i + 1}} \$

• \$

• {x_n} = b \$

$\end{gathered} $ \(\forall i\) \({x_{i * 1}} - {x_i} = \Delta x\)

** ****(A) (B)**

avec 5 intervalles entre a et b avec 15 intervalles entre a et b

· On désigne alors par \({A^ - }\) l’expression suivante :

${A^ - } = f( a )x + f( {{x_1}} )x + + f( {{x_i}} )x + + f( {{x_{n - 1}}} )x = {i * 0}^{n - 1} {f( {{x_i}} )( {{x{i + 1}} - {x_i}} )} $

• $ \({A^ - }\) représente alors la somme de tous les rectangles rouges

Il est clair que \({A^ - } < A\) et que \({A^ - }\) est d’autant plus proche de \(A\) que \(\Delta x\) est petit (Fig. A).

· On désigne alors par \({A^ + }\) l’expression suivante :

${A^ + } = f( {{x_1}} )x + + f( {{x_{i + 1}}} )x + + f( b )x = {i = 1}^n {f( {{x_i}} )( {{x{i + 1}} - {x_i}} )} $

• $ \({A^ + }\) représente alors la somme de tous les rectangles verts.

Il est clair que \({A^ + } > A\) et que \({A^ + }\) est d’autant plus proche de \(A\) que \(\Delta x\) est petit (Fig. B).

Par conséquent \({A^ - } < A < {A^ + }\) et on définit l’intégrale de \(f\) sur \(I\) par :

$A = {x 0} {A^ - } = {x 0} {A^ * } = _a^b {f( x )dx} $

Remarque

\(dx\) désigne un \(\Delta x\) infiniment petit : \(dx = \mathop {\lim }\limits_{{x_i} \to {x_{i + 1}}} \Delta x\)

Définition 2 (Intégrale et Aire) :

Soit \(f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}\) une fonction positive admettant une primitive sur \(\left[ {a,b} \right]\) et (C) sa courbe représentative.

L’aire du domaine (A) délimitée par : * - la courbe (C) * - l’axe des abscisses * - les droites d’équations \(x = a\) et \(x = b\)

est $( {} ) = _a^b {f( x )dx} $, exprimée en unités d’aire (u.a.). Voir figure ci-dessous.

d’après Misset et al.

Exemple 8

****Un exemple en Biologie****

Définition 3 :

Soit \(f:I \to \mathbb{R}\) une fonction admettant une primitive sur \(I\) et \(F\) l’une d’entre elles.

L’intégrale de \(f\) sur \[\left[ {a,b} \right]\] (définition 1) se note $_a^b {f( x )dx} $. Ainsi :

$F( b ) - F( a ) = _a^b {f( x )dx} $ que l’on note aussi \(\left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b\)

$_a^b {f( x )dx} $ se lit « somme de \(a\) à \(b\) de \(f\left( x \right)dx\) ». *

Historiquement, on doit une telle définition à Riemann qui donna son nom aux sommes dites de Riemann $i {f( {{x_i}} )( {{x{i + 1}} - {x_i}} )} $. On parle alors d’intégrale de Riemann.

La façon dont nous venons de définir l’intégrale d’une fonction sur un intervalle revient à minorer ou à majorer l’intégrale par une somme de rectangles ; on parle de méthode des rectangles. Nous verrons ultérieurement d’autres méthodes d’approximation numérique des intégrales (chapitre 5, § 5).

Remarque : $_a^b {f( x )dx} $ est un nombre réel (voir définitions 1 et 2). Pour des raisons qui restent encore mystérieuses on dit que « l’on intègre \(f\) par rapport à la variable \(x\) sur l’intervalle \[\left[ {a,b} \right]\] ».

Bien évidemment, le symbole \(x\) n’a pas de rôle particulier (c’est une variable « muette ») et $_a^b {f( x )dx} $ représente la même quantité que $_a^b {f( t )dt} $ ou $_a^b {f( u )du} $.

Conséquences des définitions 1 et 3 :

1. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\) \[\left[ {\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = F\left( a \right) - F\left( a \right)} \right]\]

2. $_b^a {f( x )dx} = - _a^b {f( x )dx} $ \[\left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right) = - \left( {F\left( a \right) - F\left( b \right)} \right)} \right]\]

Exemple 9

****Un exemple en Biologie****

2.3.1 Linéarité

Proposition :

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(\left[ {a,b} \right]\). \(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\) :

$_a^b {( {f * g} )( x )dx} = _a^b {f( x )dx} + _a^b {g( x )dx} $

Remarque :

On dit que l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales.

Démonstration

Exemple : \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} - \int\limits_0^1 {xdx} = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^1 - \left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right]_0^1 = - \frac{1}{6}\)

2.3.2 Signe de l’intégrale

Propositions :

1. Soit \(f\) une fonction continue sur \(\left[ {a,b} \right]\).

Si \[\forall * \in \left[ {a,b} \right]\], \[f\left( x \right) \geqslant 0\] (resp. \[ \leqslant 0\]), alors \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \geqslant 0\) (resp. \[ \leqslant 0\]).

2. Soit \(f\) une fonction continue sur \(\left[ {a,b} \right]\). Si \(\forall x \in \left[ {a,b} \right]\), \(f\left( x \right) \leqslant g\left( x \right)\), alors :

$_a^b {f( x )dx} _a^b {g( x )dx} $

Démonstration

Exemple 12

****Un exemple en Biologie****

Par extension, si \(f\), \(g\) et \(h\) sont trois fonctions intégrables sur \(\left[ {a,b} \right]\) telles que \(f \leqslant g \leqslant h\) sur \(\left[ {a,b} \right]\), alors $_a^b {f( x )dx} _a^b {g( x )dx} _a^b {h( x )dx} $.

Ainsi, si on ne connaît pas de primitive de la fonction \(g\), on peut malgré tout obtenir un encadrement de son intégrale sur \(\left[ {a,b} \right]\).

2.3.3 Relation de Chasles

Proposition :

Soit \(f\) une fonction continue sur \(\left[ {a,b} \right]\). Alors \(\forall * \in \left[ {a,b} \right]\) :

$_a^b {f( x )dx} = _a^c {f( x )dx} + _c^b {f( x )dx} $

Ce théorème découle immédiatement de la définition de l’intégrale. \(F\) étant une primitive de \(f\) sur \(\left[ {a,b} \right]\), pour tout \(c \in \left[ {a,b} \right]\), on a : \(F\left( c \right) - F\left( a \right) + F\left( b \right) - F\left( c \right) = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Exemple : \(\int\limits_{ - {\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} 2}}^{{\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} 2}} {\cos xdx} = \int\limits_{ - {\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} 2}}^0 {\cos xdx} + \int\limits_0^{{\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

$-} 2}} {xdx} $

****Un exemple en Biologie****

Voir figure ci-dessous

Dans le cas d’une fonction positive sur \(\left[ {a,b} \right]\) et \(m > 0\), l’inégalité de la moyenne (i) traduit le fait que l’aire du domaine D ( + * comprise entre l’aire du rectangle de hauteur \(m\) et de base (b – a) ( ), et l’aire du rectangle de hauteur \(M\) et de même base ( ).

Unnamed Image

Remarque :

L’inégalité de la moyenne (i) correspond en fait à l’inégalité des accroissements finis appliquée à l’intégrale fonction de sa borne supérieure, définie par $F( x ) = _{{x_0}}^x {f( x )dx} $.

4.3.1 Cas général des intégrales

Théorème :

Soient \(\phi :\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R}\) une fonction de classe \({C^1}\) (continue et telle que ) strictement monotone et \(f:\left[ {\phi \left( a \right),\phi \left( b \right)} \right] \to \mathbb{R}\) une fonction continue sur \(\left[ {\phi \left( a \right),\phi \left( b \right)} \right]\). Alors :

$_{( a )}^{( b )} {f( x )dx} = _a^b {( {f } )( t )’( t )dt} $

avec \[x = \phi \left( t \right)\] et \[dx = \phi '\left( t \right)dt\].

Remarque 1 :

Dans le théorème précédent, on a \[\phi \left( {\left[ {a,b} \right]} \right) = \left[ {\phi \left( a \right),\phi \left( b \right)} \right]\], c’est-à-dire que \[\phi \] est bijective de \(\left[ {a,b} \right]\) sur \(\left[ {\phi \left( a \right),\phi \left( b \right)} \right]\).

Remarque 2 :

Si \(F\) est une primitive de \(f\), alors on peut écrire :

\(\int\limits_a^b {\left( {f \circ \phi } \right)\left( t \right)\phi '\left( t \right)dt} = \left[ {\left( {F \circ \phi } \right)\left( t \right)} \right]_a^b = F\left( {\phi \left( b \right)} \right) - F\left( {\phi \left( a \right)} \right)\)

Cas particuliers :

\(\int\limits_a^b {{e^{\phi \left( t \right)}}\phi '\left( t \right)dt} = \left[ {{e^{\phi \left( t \right)}}} \right]_a^b\)

\(\int\limits_a^b {\frac{{\phi '\left( t \right)}}{{\phi \left( t \right)}}dt} = \left[ {\ln \left| {\phi \left( t \right)} \right|} \right]_a^b\)

\(\int\limits_a^b {{\phi ^n}\left( t \right)\phi '\left( t \right)dt} = \left[ {\frac{{{\phi ^{n * 1}}\left( t \right)}}{{n + 1}}} \right]_a^b\)

Exemple : Calculer $_0^1 { dx} $. Réponse

4.3.2 Application au calcul des primitives

Théorème :

Soient* *$$ une fonction bijective de classe \({C^1}\) de \(J\) sur \(I\) et \(f\) une fonction continue sur \(I\).

Si \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \] (\(F\) est une primitive de \(f\)), alors :

$F= $ *

Autre formulation :

Si \(G\) est une primitive de \[\left( {f \circ \phi } \right)\phi '\] sur \(J\), alors \[G \circ \phi \] est une primitive de \(f\) sur I :

$G( x ) = $ avec \[x = \phi \left( t \right)\] et \[dx = \phi '\left( t \right)dt\]

Il vient $G( {( t )} ) = $

4.3.3 Changements de variable « pratiques »

4.3.4 Conséquences

• Si \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\), alors \(\int {f\left( {\alpha x} \right)dx} = \frac{{F\left( {\alpha x} \right)}}{\alpha } + C\) avec \(\alpha \ne 0\)

• \(f\) paire $ $ $_{ - a}^a {f( x )dx} = 2_0^a {f( x )dx} $

• \(f\) impaire $ $ \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} = 0\)

• \(\int\limits_0^{{\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} 2}} {f\left( {\sin x,\cos x} \right)dx} = \int\limits_0^{{\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

$-} 2}} {f( {t,t} )dt} $.

En effet, le remplacement de \[\sin x\] par \[\cos x\] ne change pas l’intégrale entre 0 et \(${\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} 2}\)$ d’une fonction de \[\sin x\] et \[\cos x\]. Le changement de variable correspondant est \($x = {\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} 2} - t\)$.

En particulier, \($\int\limits_0^{{\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} 2}} {{{\sin }^n}xdx} = \int\limits_0^{{\pi \mathord{\left/\)

\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

$-} 2}} {{{}^n}tdt} $$.

• \(f\) \(T\)-périodique $ $ $_a^{a + T} {f( x )dx} = 0^T {f( x )dx} $ ou bien encore ${a + T}^{b + T} {f( x )dx} * _a^b {f( x )dx} $

Exemples 21

1. \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} + {x^2} - 1} \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {\left( {{x^4} + {x^2} - 1} \right)dx} = 2\left[ {\frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^3}}}{3} - x} \right]_0^1 = - \frac{{14}}{{15}}\]

\((2)\)\(\int\limits_{{\pi \mathord{\left/\)

\((3)\)${} .

\((4)\)\(\kern-\nulldelimiterspace} 2}}^{{{3\pi } \mathord{\left/\)

\((5)\)${} .

\((6)\)\(\kern-\nulldelimiterspace} 2}} {\sin \left( {2x} \right)dx} \underbrace = _{{\text{avec }}a = {\pi \mathord{\left/\)

\((7)\)\({\vphantom {\pi 2}} \right.\)

8. \(\kern-\nulldelimiterspace} 2}}\int\limits_0^\pi {\sin \left( {2x} \right)dx} = \left[ {\frac{1}{2}\cos \left( {2x} \right)} \right]_0^\pi * 0\) ;

La fonction \[\sin \left( {2x} \right)\] est \[\pi \]-périodique.

4.4.1 Décomposition en éléments simples

Ø Si \(d^\circ \left( Q \right) \leqslant d^\circ \left( P \right)\), on peut effectuer la division euclidienne de \(P\left( x \right)\) par \(Q\left( x \right)\) suivant les puissances décroissantes pour faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme en \(x\), et une nouvelle fraction rationnelle \(\frac{{{P_1}\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\) où \(d^\circ \left( Q \right) \geqslant d^\circ \left( {{P_1}} \right)\).

On effectue dans ce cas une décomposition en éléments simples de \(\frac{{{P_1}\left( * \right)}}{{Q\left( x \right)}}\).

Ø Si \(d^\circ \left( Q \right) \geqslant d^\circ \left( P \right)\), et \({\alpha _i}\) étant l’ordre de multiplicité de la racine réelle \({x_i}\), \({\beta _i}\) celui des deux racines complexes conjuguées de \({x^2} + {p_i}x + {q_i} = 0\) avec \(p_i^2 - 4{q_i} < 0\), alors :

$ = + $ avec \(1 \leqslant {\gamma _i} \leqslant {\alpha _i}\) et \(1 \leqslant {\delta _i} \leqslant {\beta _i}\) * Les sommes sont prises pour chacune des racines réelles et des couples de racines complexes conjuguées.

Cette décomposition s’appelle la décomposition en éléments simples de \(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\).

Exemple 22 : Décomposer en éléments simples \(\frac{{P\left( * \right)}}{{Q\left( x \right)}} = \frac{1}{{{x^4} - x}}\). Réponse

4.4.2 Intégration d’un élément simple de la forme** **\[\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^\gamma }}}} \]

Il s’agit de calculer \[\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^\gamma }}}} \] pour \[\gamma \] entier \[ \geqslant 1\].

Deux cas peuvent se présenter :

1. \[\gamma = 1\] : \[\int {\frac{{dx}}{{\left( {x - {x_0}} \right)}}} = \ln \left| {x - {x_0}} \right| + C\]

2. \[\gamma \ne 1\] : \[\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^\gamma }}}} = \int {{{\left( {x - {x_0}} \right)}^{ - \gamma }}dx} = \frac{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^{1 - \gamma }}}}{{1 - \gamma }} + C\]

Exemple 23 : Calculer $ $. Réponse

4.4.3 Intégration d’un élément simple de la forme \[\frac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\delta }}}\]

Il s’agit de calculer \[F\left( * \right) = \int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\delta }}}dx} \] pour \[\delta \] entier \[ \geqslant 1\], avec \[{p^2} - 4q < 0\].

Le mieux est de procéder selon les quatre étapes suivantes :

0. S’armer de patience… !

1. Faire apparaître dans \[Ax + B\] la dérivée de \[{x^2} + px + q\] :

\[Ax * B = \frac{A}{2}\left( {2x + p} \right) + B - \frac{{Ap}}{2}\]

Ainsi, \[F\left( x \right) = \frac{A}{2}\int {\frac{{2x + p}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\delta }}}dx} + \left( {B - \frac{{Ap}}{2}} \right)\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\delta }}}} \]

C’est-à-dire \[F\left( x \right) = \frac{A}{2}\int {\frac{{du}}{{{u^\delta }}}} + \lambda \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + px * q} \right)}^\delta }}}} \]

\[\int {\frac{{du}}{{{u^\delta }}}} \] est l’intégrale d’un élément simple de la forme précédente (voir § 4.4.2).

Reste donc à calculer \[\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\delta }}}} \]

2. Décomposer \[{x^2} + px + q\] en une somme de carrés :

\[{x^2} * px + q = {\left( {x + \frac{p}{2}} \right)^2} + q - \frac{{{p^2}}}{4} = {t^2} * {k^2}\] où \[t = x + \frac{p}{2}\] et \[k = \sqrt {q - \frac{{{p^2}}}{4}} > 0\] (\[{p^2} - 4q < 0\])

\[\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^\delta }}}} = \int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {k^2}} \right)}^\delta }}}} \]

3. Calculer \[\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {k^2}} \right)}^\delta }}}} \]

Si \[\delta = 1\], alors \[\int {\frac{{dt}}{{{t^2} + {k^2}}}} = \frac{1}{k}\arctan \left( {\frac{t}{k}} \right)\]

Si \[\delta \ne 1\], alors on pose \[\tan u = \frac{t}{k}\] soit \[u = \arctan \left( {\frac{t}{k}} \right)\]. Ainsi, on obtient :

\[\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} + {k^2}} \right)}^\delta }}}} = {k^{1 - 2\delta }}\int {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}}{{{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}^\delta }}}du} = {k^{1 - 2\delta }}\int {{{\cos }^{2\delta - 2}}udu} \]

\[\int {{{\cos }^{2\delta - 2}}udu} \] s’obtient par linéarisation et/ou changement de variable (§ 4.3.).

4. Rassembler tous les résultats intermédiaires précédents pour calculer \[F\left( x \right)\].

Exemple 24 : Calculer \[\int {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}dx} \]. Réponse

Exemple 26 : Calculer \[I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{x + \sqrt {1 - x} }}} \]. Réponse

4.4.4 Intégration d’une fonction rationnelle de Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme. et Erreur ! Des objets ne peuvent pas être créés à partir des codes de champs de mise en forme.

4.7.1 Intégration par parties

Proposition :

Soient \(u\left( x \right)\) et \(v\left( x \right)\) deux fonctions dérivables sur un même intervalle \(\left[ {a,b} \right]\) et \(f\) une fonction continue sur \(\left[ {a,b} \right]\) telle que \(f\left( x \right) = u\left( x \right)v'\left( x \right)\). Alors :

$_a^b {f( x )dx} = _a^b {u( x )v’( x )dx} = _a^b - _a^b {u’( x )v( x )dx} $

Remarque :

Cette technique permet dans la pratique d’intégrer ou de simplifier certaines intégrales où \(f\left( x \right)\) est le produit d’une fonction \(u\) de dérivée simple et d’une fonction \(w\) facile à intégrer ; dans ce cas, on prendra \(v' = w\).

Exemple 16 : Calculer $_0^1 {dx} $. Réponse.

Cas particuliers

Exemples 17

Ê Calculer $_1^2 {{x^2}xdx} $ Réponse

Ë Calculer $_0^ $ Réponse

4.7.2 Intégration par parties successives

Proposition :

Soient \(u\left( x \right)\) et \(v\left( x \right)\) deux fonctions de classe \({C^n}\) sur un même intervalle \(\left[ {a,b} \right]\). On a alors l’égalité suivante :

$_a^b {u( x ){v^{( n )}}( x )dx} = [ {_{k = 0}^{n - 1} {{{( { - 1} )}^k}{u{( k )}}( x ){v^{( {n - k} )}}( x )} } ]_a^b + {( { * 1} )^n}_a^b {{u^{( n )}}( x )v( x )dx} $

· Si \(n = 2\), alors $_a^b {u( x )v’’( x )dx} = _a^b + _a^b {u’’( x )v( x )dx} $

· Si \(n = 3\), alors $_a^b {u( x )v’’’( x )dx} = _a^b - _a^b {u’’’( x )v( x )dx} $

La démonstration de cette proposition se fait par récurrence.

Exemple 18

Calculer $I = _{ * 1}^0 {{x^2} dx} $ par deux intégrations successives puis en appliquant l’égalité de la proposition précédente. Vérifier que les résultats sont identiques. Réponse