Chapitre 7 — Tests d’hypothèse

2.1.1 Hypothèse nulle et hypothèse alternative

Remarque : Il existe une dissymétrie importante dans les conclusions des tests. En effet, la décision d’accepter \(H_0\) n’est pas équivalente à « \(H_0\) est vraie et \(H_1\) est fausse ». Cela traduit seulement l’opinion selon laquelle, il n’y a pas d’évidence nette pour que \(H_0\) soit fausse.

Un test conduit à rejeter ou à ne pas rejeter une hypothèse nulle jamais à l’accepter d’emblée.

2.1.2 Test unilatéral ou bilatéral

La nature de \(H_0\) détermine la façon de formuler \(H_1\) et par conséquence la nature unilatérale ou bilatérale du test.

Le raisonnement inverse peut être formulé avec l’hypothèse suivante :

\(H_0 : p = p_0\) et \(H_1 : p < p_0\)

Remarque : Seuls les tests bilatéraux seront développés dans le cours. Les tests unilatéraux seront traités au niveau des exemples.

2.4.1 Risque d’erreur de première espèce \(\alpha\)

Le risque d’erreur \(\alpha\) est la probabilité que la valeur expérimentale ou calculée de la statistique \(S\) appartienne à la région critique si \(H_0\) est vrai. Dans ce cas \(H_0\) est rejetée et \(H_1\) est considérée comme vraie.

La valeur du risque \(\alpha\) doit être fixée a priori par l’expérimentateur et jamais en fonction des données. C’est un compromis entre le risque de conclure à tort et la faculté de conclure.

Remarque : Toutes choses étant égales par ailleurs, la région critique diminue lorsque \(\alpha\) décroît (voir intervalle de confiance) et donc on rejette moins fréquemment \(H_0\). A vouloir commettre moins d’erreurs, on conclut plus rarement.

Exemple :

Si l’on cherche à tester l’hypothèse qu’une pièce de monnaie n’est pas « truquée », nous allons adopter la régle de décision suivante :

\(H_0\) : la pièce n’est pas truquée est

acceptée si \(X \in [40,60]\)

rejetée si \(X \notin [40,60]\) donc soit \(X < 40\) ou \(X > 60\)

avec \(X\) « nombre de faces » obtenus en lançant 100 fois la pièce.

Quel est **le risque d’erreur de première espèce \(\alpha\)* dans ce cas ? Réponse.

2.4.2 Risque d’erreur de deuxième espèce \(\beta\)

Le risque d’erreur \(\beta\) est la probabilité que la valeur expérimentale ou calculée de la statistique n’appartienne pas à la région critique si \(H_1\) est vrai. Dans ce cas \(H_0\) est acceptée et \(H_1\) est considérée comme fausse.

Remarque : Pour quantifier le risque \(\beta\), il faut connaître la loi de probabilité de la statistique \(S\) sous l’hypothèse \(H_1\).

Exemple :

Si l’on reprend l’exemple précédent de la pièce de monnaie, la probabilité \(p\) d’obtenir face est de 0,6 pour une pièce truquée. Si l’on adopte toujours la même régle de décision :

\(H_0\) : la pièce n’est pas truquée est

• acceptée si \(X \in [40,60]\)
• rejetée si \(X \notin [40,60]\) donc soit \(X < 40\) ou \(X > 60\)

avec \(X\) « nombre de faces » obtenues en lançant 100 fois la pièce.

Quel est le **risque d’erreur de second espèce \(\beta\) dans ce cas ? Réponse.

2.4.3 La puissance et la robustesse d’un test \((1 - \beta)\)

Les tests ne sont pas faits pour « démontrer » \(H_0\) mais pour « rejeter » \(H_0\) . L’aptitude d’un test à rejeter \(H_0\) alors qu’elle est fausse constitue la puissance du test.

La relation entre les deux risques d’erreur figure sur le graphe ci-dessous.

Exemple :

Si l’on reprend l’exemple précédent de la pièce de monnaie, calculez la puissance du test lorsque la probabilité d’obtenir face est respectivement 0,3 - 0,4 - 0,6 - 0,7 -0,8 pour une pièce truquée. Que constatez-vous ? Réponse.

Les différentes situations que l’on peut rencontrer dans le cadre des tests d’hypothèse sont résumées dans le tableau suivant :

Exemple : Toute chose étant égale par ailleurs, que se passe-t-il si l’hypothèse de normalité n’est pas satisfaite ?

3.1.1 Principe du test

Soit \(X\), une variable aléatoire observée sur une population, suivant une loi normale et un échantillon extrait de cette population.

Le but est de savoir si un échantillon de moyenne \(\bar{x}\), estimateur de \(\mu\), appartient à une population de référence connue d’espérance \(\mu_0\) (\(H_0\) vraie) et ne diffère de \(\mu_0\) que par des fluctuations d’échantillonnage ou bien appartient à une autre population inconnue d’espérance \(\mu\) (\(H_1\) vraie).

Pour tester cette hypothèse, il existe deux statistiques : la variance \(\sigma_0^2\) de la population de référence est connue (test \(\varepsilon\)) ou cette variance est inconnue et il faut l’estimer (test T).

3.1.2 Variance de la population connue

3.1.2.1 Statistique du test

Soit \(\overset{\leftharpoonup}{X}\) la distribution d’échantillonnage de la moyenne dans la population inconnue suit une loi normale telle que : \(\overset{\leftharpoonup}{X} \rightarrow \mathcal{N} (\mu, \sqrt {\frac{\sigma^2}{n}})\).

La statistique étudiée est l’écart : \(S = \bar{X} - \mu_0\) dont la distribution de probabilité est la suivante

\(S \rightarrow \mathcal{N} (0, \sqrt {\frac{\sigma^2}{n}})\) avec sous \(H_0\), \(E(S) = 0\) et \(V(S) = \frac{\sigma^2}{n}\) (voir démonstration)

Nous pouvons établir grâce au théorème central limite la variable Z centrée réduite telle que

\(Z = \frac{S - E(S)}{\sqrt {V(S)} }= \frac{\bar{X} - {\mu_0} } { \sqrt {\frac{\sigma^2}{n} } }\)

3.1.2.2 Application et Décision

• si \(\varepsilon_{obs} > \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est rejetée au risque d’erreur \(\alpha\) : l’échantillon appartient à une population d’espérance \(\mu\) et n’est pas représentatif de la population de référance d’espérance \(\mu_0\).

• si \(\varepsilon_{obs} \leq \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est acceptée: l’échantillon est représentatif de la population de référence d’espérance \(\mu_0\).

Exemple :

La glycémie d’une population suit une loi normale d’espérance \(\mu_0\) = 1g/l et d’écart-type \(\sigma_0\) = 0,1 g/l.

On relève les glycémies chez 9 patients. On trouve \(\bar{x}\) = 1,12g/l.

Cet échantillon est-il représentatif de la population ? Réponse.

3.1.3 Variance de la population inconnue

 3.1.3.1 Statistique du test

La démarche est la même que pour le test \(\varepsilon\) mais la variance de la population n’étant pas connue, elle est estimée par :

\({\hat \sigma ^2} = \frac{n}{n - 1} s^2\) (voir estimation ponctuelle)

La statistique étudiée est l’écart : \(S = \bar{X} - \mu_0\) dont la distribution de probabilité est la suivante

S (0, \(\sqrt {\frac{{\hat \sigma }^2}{n}})\) avec \(E(S) = 0\) et \(V(S) = \frac{{\hat \sigma}^2}{n}\) (voir démonstration)

Nous pouvons établir grâce au théorème central limite la variable T centrée réduite telle que

\(T = \frac { S - E(S) }{ \sqrt{V(S) } } = \frac{ \bar{X} - {\mu_0} } { \sqrt{\frac{\hat {\sigma}^2}{n} }}\)

3.1.3.2 Application et Décision

• si \(t_{obs} > t_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est rejetée au risque d’erreur \(\alpha\) : l’échantillon appartient à une population d’espérance \(\mu\) et n’est pas représentatif de la population de référence d’espérance \(\mu_0\).

• si \(t_{obs} \leq t_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est acceptée: l’échantillon est représentatif de la population de référence d’espérance \(\mu_0\).

Remarque:

Si \(n < 30\), la variable aléatoire \(X\) étudiée doit impérativement suivre une loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma)\). Pour \(n \neq 30\), la variable de student \(t\) converge vers une loi normale centrée réduite \(\varepsilon\).

Exemple :

Pour étudier un lot de fabrication de comprimés, on prélève au hasard 10 comprimés parmis les 30 000 produits et on les pèse. On observe les valeurs de poids en grammes :

0,81 – 0,84 – 0,83 – 0,80 – 0,85 – 0,86 – 0,85 – 0,83 – 0,84 – 0,80

Le poids moyen observé est-il compatible avec la valeur 0,83g, moyenne de la production au seuil 98% ? Réponse.

3.2.1 Principe du test

Soit \(X\) une variable qualitative prenant deux modalités (succès \(X=1\), échec \(X=0\)) observée sur une population et un échantillon extrait de cette population.

Le but est de savoir si un échantillon de fréquence observée \(\frac{K}{n}\), estimateur de \(p\), appartient à une population de référence connue de fréquence \(p_0\) (\(H_0\) vraie) ou à une autre population inconnue de fréquence \(p\) (\(H_1\) vraie).

3.2.2 Statistique du test

La distribution d’échantillonnage de la fréquence de succès dans la population inconnue, \(\frac{K}{n}\) suit une loi normale telle que : \(\frac{K}{n}\) suit \(\mathcal{N}(p, \sqrt { \frac{p_0 q_0}{n} } )\), les variances étant supposées égales dans la population de référence et la population d’où est extrait l’échantillon.

La statistique étudiée est l’écart : \(S = \frac{K}{n} – p_0\) dont la distribution de probabilité est la suivante \(S \rightarrow \mathcal{N} (0, \sqrt{ \frac{p_0 q_0}{n} } )\) avec sous \(H_0\) \(E(S) = 0\) et \(V(S) = \frac{p_0 q_0}{n}\) (voir démonstration)

Nous pouvons établir grâce au théorème central limite la variable \(Z\) centrée réduite telle que

\(Z = \frac{S - E(S)}{\sqrt {V(S)}} = \frac{ \frac{K}{n} - {p_0} }{\sqrt {\frac{p_0 q_0}{n}} }\) mais seulement si \(n p_0\) et \(n q_0\) \(\geq 10\)

3.2.3 Application et décision

• si \(\varepsilon_{obs} > \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est rejetée au risque d’erreur \(\alpha\) : l’échantillon appartient à une population de fréquence \(p\) et n’est pas représentatif de la population de référence de fréquence \(p_0\) .

• si \(\varepsilon_{obs} \leq \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est acceptée: l’échantillon est représentatif de la population de référence de fréquence \(p_0\).

Exemple :

Une anomalie génétique touche en France 1/1000 des individus. On a constaté dans une région donnée : 57 personnes atteintes sur 50 000 naissances.

Cette région est-elle représentative de la France entière ? Réponse.

4.1.1 Principe du test

Soit \(X\), une variable aléatoire observée sur 2 populations suivant une loi normale et deux échantillons indépendants extraits de ces deux populations.

On fait l’hypothèse que les deux échantillons proviennent de 2 populations dont les variances sont égales.

Le test de comparaison de variance est nécessaire lors de la comparaison de deux moyennes lorsque les variances des populations \(\sigma_1^2\)et \(\sigma_2^2\) ne sont pas connues. C’est également la statistique associée à l’analyse de variance.

4.1.2 Statistique du test

La statistique associée au test de comparaison de deux variances correspond au rapport des deux variances estimées.

Remarque : Il existe d’autres statistiques que celle de Fisher –Snédecor pour comparer deux variances, notamment le test de Hartley qui impose l’égalité de la taille des échantillons comparés \(n_1 = n_2\) mais que nous ne développerons pas dans ce cours.

4.1.3 Application et décision

La valeur de la statistique \(F\) calculée (\({F_{obs.}}\)) est comparée avec la valeur \({F_{seuil}}\) lue dans la table de la loi de Fisher-Snedecor pour un risque d’erreur \(\alpha\) fixé et (\(n_1-1\), \(n_2 -1\)) degrés de liberté.

• si \({F_{obs.}} \geq {F_{seuil}}\) l’hypothèse \(H_0\) est rejetée au risque d’erreur \(\alpha\) : les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant des variances statistiquement différentes \(\sigma_1^2\) et \(\sigma_2^2\).

• si \({F_{obs.}} \leq {F_{seuil}}\) l’hypothèse \(H_0\) est acceptée: les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant même variance \(\sigma^2\).

Remarque : Pour l’application de ce test, il est impératif que \(X \rightarrow \mathcal{N}(\mu,\sigma)\) et que les deux échantillons soient indépendants.

Exemple :

Un biologiste effectue des dosages par une méthode de mesure de radioactivité et ne dispose donc que d’un nombre très limité de valeurs.

Les concentrations \(C_1\) et \(C_2\) mesurées sur deux prélèvements ont donné les valeurs suivantes :

\(C_1\) : 3,9 – 3,8 – 4,1 – 3,6 \(C_2\) : 3,9 – 2,8 – 3,1 – 3,7 – 4,1

La variabilité des valeurs obtenues pour les deux prélèvements est-elle similaire ? Réponse.

4.2.1 Principe du test

Soit \(X\) un caractère quantitatif continu observé sur 2 populations suivant une loi normale et deux échantillons indépendants extraits de ces deux populations.

On fait l’hypothèse que les deux échantillons proviennent de 2 populations dont les espérances sont égales.

Il existe plusieurs statistiques associées à la comparaison de deux moyennes en fonction de la nature des données.

4.2.2 Les variances des populations sont connues

4.2.2.1 Statistique du test

• Soit \(\overset{\leftharpoonup}{X_1}\) la distribution d’échantillonnage de la moyenne dans la population 1 suit une loi normale telle que : \(\overset{\leftharpoonup}{X_1} \rightarrow \mathcal{N} (\mu_1, \frac{\sigma_1^2}{n_1})\) et de même pour \(\overset{\leftharpoonup}{X_2} \rightarrow \mathcal{N} (\mu_2, \frac{\sigma_2^2}{n_2})\)

• \(\overset{\leftharpoonup}{X_1}\) et \(\overset{\leftharpoonup}{X_2}\) étant deux variables aléatoires indépendantes, nous pouvons établir la loi de probabilité de la variable aléatoire à étudier \(\overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2}\)

\(E(\overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2}) = E(\overset{\leftharpoonup}{X_1}) - E(\overset{\leftharpoonup}{X_2}) = \mu_1 - \mu_2\) (Propriété de l’ espérance)

\(V(\overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2}) = V(\overset{\leftharpoonup}{X_1}) - V(\overset{\leftharpoonup}{X_2}) = \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}\) (Propriété de la variance)

• Sachant que \(\overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2}\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(\mu_1 - \mu_2 , \sqrt {\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} )\) , nous pouvons établir grâce au théorème central limite la variable \(Z\) centrée réduite telle que

\(Z = \frac{ ( \overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2} ) - E( \overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2} ) }{ \sqrt{ V(\overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2}) } } = \frac{ ( \overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2} ) - ({\mu_1} - {\mu_2}) }{ \sqrt {\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} }\)

4.2.2.2 Application et décision

• si \(\varepsilon_{obs} \geq \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est rejetée au risque d’erreur \(\alpha\) : les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant des espérances respectivement \(\mu_1\) et \(\mu_2\).

• si \(\varepsilon_{obs} \leq \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est acceptée: les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant même espérance \(\mu\).

Remarque : Pour l’application de ce test, il est impératif que \(X \rightarrow \mathcal{N}(\mu,\sigma)\) pour les échantillons de taille < 30 et que les deux échantillons soient indépendants.

Exemple :

On a effectué une étude, en milieu urbain et en milieu rural, sur le rythme cardiaque humain :

Peut-on affirmer qu’il existe une différence significative entre les rythmes cardiaques moyens des deux populations ? Réponse.

4.2.3 Les variances des populations sont inconnues et égales

4.2.3.1 Statistique du test

• Les variances des populations n’étant pas connues, on fait l’hypothèse que les deux populations présentent la même variance.

\(H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\) (voir test de comparaison des variances)

• L’égalité des variances des deux populations ou homoscédasticité permet alors d’établir la loi de probabilité de \(\overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2}\) avec

\(\overset{\leftharpoonup}{X_1} \rightarrow \mathcal{N} (\mu_1, \frac{\sigma ^2}{n_1})\) et \(\overset{\leftharpoonup}{X_2} \rightarrow \mathcal{N} (\mu_1, \frac{\sigma ^2}{n_2})\)

• Sachant que \(\overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2}\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(\mu_1 - \mu_2 , \sqrt {{\sigma ^2}\left( {\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \right)})\), nous pouvons établir grâce au théorème central limite la variable \(T\) telle que

\(T = \frac{ ( \overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2} ) - E( \overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2} ) }{ \sqrt{ V(\overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2}) } } = \frac{ ( \overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2} ) - ({\mu_1} - {\mu_2}) }{ \sqrt {{\sigma ^2}\left( {\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \right)} }\)

4.2.3.2 Application et décision

• si \(t_{obs} > t_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est rejetée au risque d’erreur \(\alpha\) : les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant des espérances respectivement \(\mu_1\) et \(\mu_2\).

• si \(t_{obs} \leq t_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est acceptée: les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant même espérance \(\mu\).

Remarque : Pour l’application de ce test, il est impératif que \(X \rightarrow \mathcal{N}(\mu,\sigma)\) pour les échantillons de taille < 30, que les deux échantillons soient indépendants et que les deux variances estimées soient égales.

Exemple :

Dans le but d’étudier l’influence du type d’atmosphère d’élevage sur la durée de développement des drosophiles femelles, ces dernières ont été élevées à 14°C sous atmosphère normale (N) ou enrichie en C02 (C02). Les résultats suivants ont été obtenus :

Que peut-on conclure ? Réponse.

4.2.4 Les variances des populations sont inconnues et inégales

Si les variances des populations ne sont pas connues et si leurs estimations à partir des échantillons sont significativement différentes ( test de comparaison des variances), il faut considérer deux cas de figure selon la taille des échantillons comparés :

les grands échantillons avec \(n_1\) et \(n_2\) supérieurs à 30.

les petits échantillons avec \(n_1\) et/ou \(n_2\) inférieurs à 30.

Cas où \(n_1\) et \(n_2\) > 30

La statistique utilisée est la même que pour le cas où les variances sont connues.

Comme les variances sont inconnues et significativement différentes \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\), on remplace les variances des populations par leurs estimations ponctuelles calculées à partir des échantillons, \(\hat \sigma_1^2 = \frac{n_1}{{n_1} - 1}s_1^2\) et \(\hat \sigma_2^2 = \frac{n_2}{{n_2} - 1}s_2^2\)

• si \(\varepsilon_{obs} > \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est rejetée au risque d’erreur \(\alpha\) : les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant des espérances respectivement \(\mu_1\) et \(\mu_2\).

• si \(\varepsilon_{obs} \leq \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est acceptée: les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant même espérance \(\mu\).

Remarque : Pour l’application de ce test, il est impératif que \(X \rightarrow \mathcal{N}(\mu,\sigma)\) et que les deux échantillons soient indépendants.

Exemple :

Dans le but d’étudier l’influence éventuelle de la lumière sur la croissance du poisson Lebistes Reticulus, on a élevé deux lots de ce poisson dans des conditions d’éclairage différentes. Au 95^ème jour, on a mesuré en mm les longueurs \(x_i\) des poissons. On a obtenu les résultats suivants :

Lot 1 (180 individus) : éclairage à 400 lux \(\sum {{x_{i1}}}= 3 780 \qquad \sum {x_{i1}^2} = 84 884\)

Lot 2 (90 individus) : éclairage à 3 000 lux. \(\sum {{x_{i2}}}= 2 043 \qquad \sum {x_{i2}^2} = 46 586\)

Que peut-on conclure ? Réponse.

Cas où \(n_1\) et/ou \(n_2\) < 30

Lorsque les variances sont inégales et les échantillons de petites tailles, la loi de probabilité suivie par \(\overset{\leftharpoonup}{X_1} - \overset{\leftharpoonup}{X_2}\) n’est pas connue. On a recours alors au statistique non paramétrique.

4.3.1 Principe du test

Soit \(X\) une variable qualitative prenant deux modalités (succès \(X=1\), échec \(X=0\)) observée sur 2 populations et deux échantillons indépendants extraits de ces deux populations. On fait l’hypothèse que les deux échantillons proviennent de 2 populations dont les probabilités de succès sont identiques.

Le problème est de savoir si la différence entre les deux fréquences observées est réelle ou explicable par les fluctuations d’échantillonnage. Pour résoudre ce problème, deux tests de comparaison de fréquences sont possibles :

Test \(\varepsilon\) ou test de la variable centrée réduite et test du Khi-deux \(\chi^2\)

4.3.2 Statistique du test \(\varepsilon\)

• La distribution d’échantillonnage de la fréquence de succès dans la population 1, \(\frac{K_1}{n_1}\) suit une loi normale telle que :

\(\frac{K_1}{n_1}\) suit \(\mathcal{N} (p_1, \sqrt {\frac{{p_1}{q_1}}{n_1}})\) et de même pour \(\frac{K_2}{n_2}\) suit \(\mathcal{N} (p_2, \sqrt {\frac{{p_2}{q_2}}{n_2}} )\)

si et seulement si \(n_1 p_1, n_1 q_1, n_2 p_2, n_2 q_2 \geq 10\)

• \(\frac{K_1}{n_1}\) et \(\frac{K_2}{n_2}\) étant deux variables aléatoires indépendantes, nous pouvons établir la loi de probabilité de la variable aléatoire à étudier \(\frac{K_1}{n_1} - \frac{K_2}{n_2}\)

\(E(\frac{K_1}{n_1} - \frac{K_2}{n_2}) = E(\frac{K_1}{n_1}) - E(\frac{K_2}{n_2}) = p_1 - p_2\) (Propriété de l’ espérance)

\(V(\frac{K_1}{n_1} - \frac{K_2}{n_2}) = V(\frac{K_1}{n_1}) + V(\frac{K_2}{n_2}) = \frac{{p_1}{q_1}}{n_1} + \frac{{p_2}{q_2}}{n_2}\) (Propriété de la variance)

• Sachant que \(\frac{K_1}{n_1} - \frac{K_2}{n_2}\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(p_1 - p_2 , \sqrt {\frac{{p_1}{q_1}}{n_1} + \frac{{p_2}{q_2}}{n_2}} )\), nous pouvons établir grâce au théorème central limite la variable \(Z\) centrée réduite telle que

\(Z = \frac{{\left( {\frac{{{K_1}}}{{{n_1}}} - \frac{{{K_2}}}{{{n_2}}}} \right) - \left( {{p_1} - {p_2}} \right)}}{{\sqrt {\frac{{{p_1}{q_1}}}{{{n_1}}} + \frac{{{p_2}{q_2}}}{{{n_2}}}} }}\)

4.3.3 Application et décision

La valeur \(p\), probabilité du succès commune aux deux populations n’est en réalité pas connue. On l’estime à partir des résultats observés sur les deux échantillons :

\(\hat{p} = \frac{k_1 + k_2}{n_1 + n_2}\) où \(k_1\) et \(k_2\) représentent le nombre de succès observés respectivement pour l’échantillon 1 et pour l’échantillon 2.

• si \(\varepsilon_{obs} > \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est rejetée au risque d’erreur \(\alpha\) : les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant des probabilités de succès respectivement \(p_1\) et \(p_2\).

• si \(\varepsilon_{obs} \leq \varepsilon_{seuil}\) l’hypothèse \(H_0\) est acceptée: les deux échantillons sont extraits de deux populations ayant même probabilité de succès \(p\).

Exemple :

On veut tester l’impact des travaux dirigés dans la réussite à l’examen de statistique.

Qu’en concluez-vous ? Réponse.