Chapitre 5 — Produit scalaire et norme

Introduction

La notion d’espace vectoriel constitue le cadre général de l’Algèbre Linéaire. La richesse de cette théorie s’accroît si on y ajoute d’autres structures. La plus importante d’entre elles fait référence aux mesures de longueurs, de distance et d’angle : c’est la structure métrique. Et c’est la notion de produit scalaire qui permet de donner un sens, de définir, et d’étudier les propriétés métriques d’un espace vectoriel.

1 Produit scalaire

Définition 1

Soit $$ une application de $E \times E$ dans $$\mathbb{R}$$ qui a tout couple $\left( {\vec u,\vec v} \right)$ de vecteurs de $E$ fait correspondre un réel $\varphi \left( {\vec u,\vec v} \right)$. $$ est une forme bilinéaire, si elle est linéaire par rapport à $\vec u$ et par rapport à $\vec v$ :

$\forall {\vec u_1},{\vec u_2} \in E{\text{, }}\forall \vec v \in E{\text{, }}\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ $\varphi \left( {\lambda {{\vec u}_1} + \mu {{\vec u}_2},\vec v} \right) = \lambda \varphi \left( {{{\vec u}_1},\vec v} \right) + \mu \varphi \left( {{{\vec u}_2},\vec v} \right)$

$\forall \vec u \in E{\text{, }}\forall {\vec v_1},{\vec v_2} \in E{\text{, }}\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ $\varphi \left( {\vec u,\lambda {{\vec v}_1} + \mu {{\vec v}_2}} \right) = \lambda \varphi \left( {\vec u,{{\vec v}_1}} \right) + \mu \varphi \left( {\vec u,{{\vec v}_2}} \right)$

Remarque

Cette définition rejoint celle des formes multilinéaires introduite pour les déterminants.

Proposition 1

1. $$ est symétrique si $\forall \vec u,\vec v \in E{\text{, }}\varphi \left( {\vec u,\vec v} \right) = \varphi \left( {\vec v,\vec u} \right)$

2. $$ est définie si $\forall \vec u \in E{\text{, }}\varphi \left( {\vec u,\vec u} \right) = 0 \Rightarrow \vec u = \vec 0$

3. $$ est positive si $\forall \vec u \in E{\text{, }}\varphi \left( {\vec u,\vec u} \right) \geqslant 0$ *

Définition 2

On appelle produit scalaire une forme bilinéaire symétrique, définie et positive.

Notations du produit scalaire : $\varphi \left( {\vec u,\vec v} \right)\quad \quad \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {u}&& {v}$

$\end{array}} \right)\quad \quad \left\langle {\vec u,\vec v} \right\rangle \quad \quad \vec u \bullet \vec v$

Dans toute la suite du cours nous adopterons la notation $\vec u \bullet \vec v$.

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Remarques

· Un espace vectoriel est muni a priori de plusieurs produits scalaires.

· $\vec u \bullet \vec v$ est une opération entre deux vecteurs ; le résultat est un scalaire.

Définition 3

Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien.

D’après la définition du produit scalaire, $\vec u \bullet \vec u$ est positif ou nul ; Il admet donc une racine carrée que l’on note ${| {u} |_ } = $.

Définition

On appelle norme ou longueur du vecteur $\vec u$ associée au produit scalaire (•) et notée ${\left\| {\vec u} \right\|_ \bullet }$, le scalaire :

${\left\| {\vec u} \right\|_ \bullet } = \sqrt {\vec * \bullet \vec u} \Leftrightarrow \left\| {\vec u} \right\|_ \bullet ^2 = \vec * \bullet \vec u$

2 Inégalité de Cauchy-Schwartz et applications

Théorème 1 (Inégalité de Schwartz)

Si $ $ est un produit scalaire sur un espace vectoriel $E$, pour tout $$\vec u,\vec v \in E$$ :

$| {u v} | $ ce qui équivaut à $\left| {\vec u \bullet \vec v} \right| \leqslant {\left\| {\vec u} \right\|_ \bullet }{\left\| {\vec v} \right\|_ \bullet }$

Remarque

Le symbole $$\left| {{\text{ }}} \right|$$ désigne la valeur absolue.

Théorème 2

Soit $E$ un espace préhilbertien. Alors la norme de $E$ satisfait les propriétés suivantes :

1. ${\left\| {\vec u} \right\|_ \bullet } \geqslant 0$ et ${\left\| {\vec u} \right\|_ \bullet } = 0 \Leftrightarrow \vec u = \vec 0$

2. ${\left\| {\lambda \vec u} \right\|_ \bullet } = \left| \lambda \right|\;{\left\| {\vec u} \right\|_ \bullet }\quad \left( {\lambda \in \mathbb{R}} \right)$

3. ${\left\| {\vec u + \vec v} \right\|_ \bullet } \leqslant {\left\| {\vec u} \right\|_ \bullet } + {\left\| {\vec v} \right\|_ \bullet }$

Remarque

La propriété (iii) est appelée « inégalité triangulaire » car si on considère $$\vec u * \vec v$$ comme troisième côté du triangle formé avec $$\vec u$$ et $$\vec v$$ , alors (iii) signifie que la longueur d’un côté du triangle est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Définition

Soit $E$ un espace préhilbertien. Soit $$\vec u \in E$$ . Si $${\left\| {\vec u} \right\|_ \bullet } = 1$$ , ou si de manière équivalente $$\vec u \bullet \vec u = 1$$ , alors $$\vec u$$ est appelé un vecteur unitaire.

Proposition

Si $\vec x \ne {\vec 0_E}$ un vecteur quelconque de $E$ espace préhilbertien, alors le vecteur $\vec u = \frac{1}{{\left\| {\vec x} \right\|}}\vec x$ est unitaire et colinéaire à $\vec x$. On appelle $\vec u$ le vecteur normé associé à $\vec x$. Le procédé correspondant s’appelle la normalisation.

Remarque

Quels que soient les vecteurs $$\vec u,\vec v \in E$$ , l’angle que font entre eux les vecteurs $$\vec u$$ et $$\vec v$$ est l’angle $$\theta$$ tel que $$0 \leqslant \theta \leqslant \pi$$ et :

$\cos \theta = \frac{{\vec * \bullet \vec v}}{{{{\left\| {\vec u} \right\|}_ \bullet }{{\left\| {\vec v} \right\|}_ \bullet }}}$

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwartz, $$- 1 \leqslant \cos \theta \leqslant 1$$ , et donc l’angle $$\theta$$ existe toujours et est unique.

Représentation graphique

3 Orthogonalité, projection

4 Distance euclidienne

Définition

Soient $$\vec u = \left( {{u_1}, \ldots ,{u_n}} \right)$$ et $$\vec v = \left( {{v_1}, \ldots ,{v_n}} \right)$$ deux vecteurs de $${\mathbb{R}^n}$$ . La distance entre $$\vec u$$ et $$\vec v$$ , qui n’est autre que la distance entre les points extrémités des deux vecteurs, est définie par :

$$d\left( {\vec u,\vec v} \right) = \left\| {\vec u - \vec v} \right\|$$

Proposition

Soit $${\mathbb{R}^n}$$ espace euclidien. Alors : * $$d\left( {\vec u,\vec v} \right) = \left\| {\vec u - \vec v} \right\| = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{u_i} - {v_i}} \right)}^2}} }$$

On parle de distance euclidienne.

Exemple

On se place dans $${\mathbb{R}^2}$$ muni de sa base canonique $\left\{ {{{\vec e}_1},{{\vec e}_2}} \right\}$ et de son produit scalaire canonique.

Soit $\vec u = \;\left( {1,3} \right)$ et $\vec v = \;\left( { * 1,2} \right)$. Calculer $d\left( {\vec u,\vec v} \right)$. Réponse.

5 Déterminant et volume

Considérons le plan muni d’un repère d’origine A. On considère $${\mathbb{R}^2}$$ espace euclidien.

Soient $A$ de cordonnées $$\left( {0,0} \right)$$ , $B$ de coordonnées $$\left( {{x_1},{x_2}} \right)$$ , $C$ de coordonnées $$\left( {{y_1},{y_2}} \right)$$ . On désigne par $$\vec u$$ le vecteur issu de $A$ et d’extrémité $C$ et par $$\vec v$$ le vecteur issu de $A$ et d’extrémité $B$. Ainsi, $$\vec u = \left( {{x_1},{x_2}} \right)$$ et $$\vec v = \left( {{y_1},{y_2}} \right)$$ . On appelle $$\theta$$ l’angle formé par $$\vec u$$ et $$\vec v$$ .

Nous allons cherche à démontrer la propriété énoncée au chapitre 3, paragraphe 4.4, à savoir que le déterminant de $$\vec u$$ et $$\vec v$$ est égal à l’aire du parallélogramme ABDC.

On appelle respectivement G et H les projetés orthogonaux de * et D sur la direction définie par $$\vec u$$ . Ainsi, l’aire du triangle ABG est égale à l’aire du triangle CDH, d’où l’on en déduit que l’aire du parallélogramme ABDC est exactement égale à l’aire du rectangle GBDH :

$${A_{ABDC}} = {A_{GBDH}}$$

Or $${A_{GBDH}} = BD \times BG$$ avec $$BD = AC = \left\| {\vec u} \right\|$$ et $$BG = AB\sin \theta = \left\| {\vec v} \right\|\sin \theta$$ . Donc :

$\begin{gathered}$

• {A_{ABDC}} = | {u} || {v} |\$

• = | {u} || {v} | \$

• = \$

• = \$

$\end{gathered} $

En utilisant les coordonnées des vecteurs $$\vec u$$ et $$\vec v$$ , on peut écrire :

${\left\| {\vec u} \right\|^2} = x_1^2 + x_2^2$ ${\left\| {\vec v} \right\|^2} = y_1^2 + y_2^2$ $$\vec u \bullet \vec v = {x_1}{y_1} + {x_2}{y_2}$$

Finalement :

$\begin{gathered}$

• {A_{ABDC}} = \$

• = \$

• = \$

• = \$

• = {x_1}{y_2} - {x_2}{y_1} \$

$\end{gathered} $

En remarquant que $$\det \left( {\vec u,\vec v} \right) = {x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}$$ , on peut conclure que $\boxed{{A_{ABDC}} = \det \left( {\vec u,\vec v} \right)}$, autrement dit que le déterminant de deux vecteurs de $${\mathbb{R}^2}$$ est bien égal à la surface du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.

6 Exemples d’utilisation en Biologie

Les plantes de quatre espèces végétales E1, E2, E3, E4ont été dénombrées sur un terrain subdivisé en trois parcelles disjointes A, B, C. Les résultats sont présentés sous la forme d’une matrice F :

${\mathbf{F}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}&{{a_4}} \$

• {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}&{{b_4}} \$

• {{c_1}}&{{c_2}}&{{c_3}}&{{c_4}}$

$\end{array}} \right)$

où, par exemple, $${b_2}$$ est le nombre de plantes de l’espèce E2présentes dans la parcelle B.

Soient $${p_1},{p_2},{p_3},{p_4}$$ les sommes des colonnes de la matrice $F$ ; $${n_1},{n_2},{n_3}$$ les sommes des lignes de la matrice F : $${p_i} = {a_i} + {b_i} + {c_i}\quad i = 1,4$$ et $${n_j} = \sum\limits_{i = 1}^{i = 4} {{a_i}} \quad j = 1,3$$ .

Ainsi $${n_2}$$ est le nombre total de plantes présentes dans la parcelle B ; tandis que $${p_2}$$ est le nombre total de plantes de l’espèce E2présentes dans l’ensemble des trois parcelles.

Soit $n$ le nombre total de plantes des quatre espèces présentes dans l’ensemble des trois parcelles : $$n = \sum\limits_{i = 1}^{i = 4} {{p_i}} = \sum\limits_{j = 1}^{j = 3} {{n_j}}$$ .

Considérons les deux matrices suivantes :

$${\mathbf{D}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {{p_1}}&0&0&0 \$

• 0&{{p_2}}&0&0 \$

• 0&0&{{p_3}}&0 \$

• 0&0&0&{{p_4}}$

$\end{array}} \right)$$ ${\mathbf{\Delta }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {{{{n_1}} \mathord{/$

${\vphantom {{{n_1}} n}} \right.$

$$\kern-\nulldelimiterspace} n}}&0&0 \\$

• 0&{{{{n_2}} \mathord{/$

${\vphantom {{{n_2}} n}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} n}}&0 \\$

• 0&0&{{{{n_3}} \mathord{/$

${\vphantom {{{n_3}} n}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} n}}$

$\end{array}} \right)$

Dans $${\mathbb{R}^3}$$ (muni de sa base canonique), les colonnes de la matrice ${\mathbf{X}} = {\mathbf{F}}{{\mathbf{D}}^{ - 1}}$ peuvent être considérées comme les coordonnées, exprimées en %, des quatre points E1, E2, E3, E4représentants les quatre espèces végétales :

${\mathbf{X}} = {\mathbf{F}}{{\mathbf{D}}^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}&{{a_4}} \$

• {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}&{{b_4}} \$

• {{c_1}}&{{c_2}}&{{c_3}}&{{c_4}}$

$\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {{1 \mathord{/$

${\vphantom {1 {{p_1}}}} \right.$

$$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_1}}}}&0&0&0 \\$

• 0&{{1 \mathord{/$

${\vphantom {1 {{p_2}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_2}}}}&0&0 \\$

• 0&0&{{1 \mathord{/$

${\vphantom {1 {{p_3}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_3}}}}&0 \\$

• 0&0&0&{{1 \mathord{/$

${\vphantom {1 {{p_4}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_4}}}}$

$\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {{{{a_1}} \mathord{/$

${\vphantom {{{a_1}} {{p_1}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_1}}}}&{{{{a_2}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{a_2}} {{p_2}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_2}}}}&{{{{a_3}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{a_3}} {{p_3}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_3}}}}&{{{{a_4}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{a_4}} {{p_4}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_4}}}} \\$

• {{{{b_1}} \mathord{/$

${\vphantom {{{b_1}} {{p_1}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_1}}}}&{{{{b_2}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{b_2}} {{p_2}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_2}}}}&{{{{b_3}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{b_3}} {{p_3}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_3}}}}&{{{{b_4}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{b_4}} {{p_4}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_4}}}} \\$

• {{{{c_1}} \mathord{/$

${\vphantom {{{c_1}} {{p_1}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_1}}}}&{{{{c_2}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{c_2}} {{p_2}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_2}}}}&{{{{c_3}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{c_3}} {{p_3}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_3}}}}&{{{{c_4}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{c_4}} {{p_4}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_4}}}}$

$\end{array}} \right)$

Par cette opération matricielle, on a en fait normalisé les colonnes de $F$ ( $${p_i} = {a_i} + {b_i} + {c_i}$$ ).

Nous allons tenter de voir si les quatre espèces végétales sont équi-réparties au sein des trois parcelles, i.e. si les proportions des quatre espèces sont les mêmes quelle que soit la parcelle.

Si on appelle G le point de coordonnées $$\left( {\frac{{{n_1}}}{n},\frac{{{n_2}}}{n},\frac{{{n_3}}}{n}} \right)$$ , cela revient d’un point de vue géométrique, à situer les quatre point E1, E2, E3, E4par rapport à ce point G. G représente le barycentre des espèces. Si un point Eiest proche de G, alors on pourra dire que cette espèce est équi-répartie au sein des trois parcelles.

D’un point de vue mathématique, il faut calculer les distances $$d\left( {{\text{G}}{\text{,}}{{\text{E}}_{\text{i}}}} \right)$$ , les distances les plus petites correspondront aux espèces les mieux équi-réparties au sein des trois parcelles.

$${{\text{E}}_{\text{i}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {{{{a_i}} \mathord{/$

${\vphantom {{{a_i}} {{p_i}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_i}}}} \\$

• {{{{b_i}} \mathord{/$

${\vphantom {{{b_i}} {{p_i}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_i}}}} \\$

• {{{{c_i}} \mathord{/$

${\vphantom {{{c_i}} {{p_i}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_i}}}}$

$\end{array}} \right)$$ $$i = 1,4$$ $$d\left( {{\text{G}}{\text{,}}{{\text{E}}_{\text{i}}}} \right) = \left\| {\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{i}}}} } \right\|$$ $$\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{i}}}} * \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {{{{a_i}} \mathord{/$

${\vphantom {{{a_i}} {{p_i}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_i}}} - {{{n_1}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{n_1}} n}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} n}} \\$

• {{{{b_i}} \mathord{/$

${\vphantom {{{b_i}} {{p_i}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_i}}} - {{{n_2}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{n_2}} n}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} n}} \\$

• {{{{c_i}} \mathord{/$

${\vphantom {{{c_i}} {{p_i}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_i}}} - {{{n_3}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{n_3}} n}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} n}}$

$\end{array}} \right)$$

Ainsi, $$d\left( {{\text{G}}{\text{,}}{{\text{E}}_{\text{i}}}} \right) = \left\| {\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{i}}}} } \right\| = \sqrt {{{\left( {{{{a_i}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{a_i}} {{p_i}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_i}}} - {{{n_1}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{n_1}} n}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} n}} \right)}^2} + {{\left( {{{{b_i}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{b_i}} {{p_i}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_i}}} - {{{n_2}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{n_2}} n}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} n}} \right)}^2} + {{\left( {{{{c_i}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{c_i}} {{p_i}}}} \right.$

$\kern-\nulldelimiterspace} {{p_i}}} - {{{n_3}} \mathord{\left/$

${\vphantom {{{n_3}} n}} \right.$

$-} n}} )}^2}} $$.

Application numérique : considérons la matrice $F$ suivante :

${\mathbf{F}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• 6&7&{17}&2 \$

• {15}&{22}&2&{14} \$

• 3&4&6&2$

$\end{array}} \right)$

$${p_1} = 24,{p_2} = 33,{p_3} * 25,{p_4} = 18$$ $${n_1} = 32,{n_2} = 53,{n_3} = 15$$ $$n = 100$$

${\mathbf{X}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {0.250}&{0.212}&{0.680}&{0.111} \$

• {0.625}&{0.666}&{0.08}&{0.777} \$

• {0.125}&{0.121}&{0.240}&{0.111}$

$\end{array}} \right)$ avec $${\text{G}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}$

• {0.32} \$

• {0.53} \$

• {0.15}$

$\end{array}} \right)$$

Ainsi $$\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{1}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}}$

• { - 0.070} \$

• {0.095} \$

• { - 0.025}$

$\end{array}} \right)$$, $$\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{2}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}}$

• { - 0.108} \$

• {0.136} \$

• { - 0.029}$

$\end{array}} \right)$$, $$\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{3}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}}$

• {0.36} \$

• { - 0.45} \$

• {0.09}$

$\end{array}} \right)$$ et $$\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{4}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{r}}$

• { - 0.209} \$

• {0.247} \$

• { - 0.039}$

$\end{array}} \right)$$.

Alors $$\left\| {\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{1}}}} } \right\| = 0.120$$ , $$\left\| {\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{2}}}} } \right\| = 0.176$$ , $$\left\| {\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{3}}}} } \right\| = 0.583$$ et $$\left\| {\overrightarrow {{\text{G}}{{\text{E}}_{\text{4}}}} } \right\| = 0.326$$ .

Nous pouvons finalement conclure que, dans cet exemple numérique, c’est l’espère 1 qui la mieux équi-répartie au sein des trois parcelles.