Sandrine CHARLES : scharles@biomserv.univ-lyon1.fr**
Historiquement c’est Cayley, parallèlement aux travaux de Grassmann, qui dégage la notion d’espace vectoriel de dimension \(n\), et introduit, avec Sylvester, la notion de matrice (le terme sera introduit par ce dernier en 1850) et en expose l’usage en faisant emploi des déterminants (dont l’initiateur fut Cauchy) dans une théorie plus large dite des invariants (1858) : on entend là des propriétés matricielles invariantes par transformation linéaire comme, par exemple, le déterminant et la trace (somme des éléments diagonaux).
Définition 1
Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice.
p colonnes
\(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_{11}}}&{{a_{12}}}& &{{a_{1p}}} \
$${{a_{21}}}&{{a_{22}}}& &{{a_{2p}}} \
$$& & & \
$${{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& &{{a_{np}}}
\(\end{array}} \right)\)$
n lignes
L’élément \[{a_{ij}} \in \mathbb{R}\] de la matrice se trouve à l’intersection de la \(i\)ème ligne et de la \(j\)ème colonne.
La matrice A s’écrit également sous la forme \[{\mathbf{A}} = \left[ {{a_{ij}}} \right]\] avec \[i = 1,n\] et \[j = 1,p\].
Une matrice ayant \(n\) lignes et \(p\) colonnes est appelée matrice \[\left( {n,p} \right)\] ou \[n \times p\].
Définition 2
Le couple \[\left( {n,p} \right)\] est appelé dimension de la matrice.
Définitions 3
Une matrice de dimension \[\left( {n,1} \right)\] est une matrice colonne.
Une matrice de dimension \[\left( {1,p} \right)\] est une matrice ligne.
Notation : L’ensemble des matrices de dimension \[\left( {n,p} \right)\] est noté \[\boxed{{M_{n,p}}\left( \mathbb{R} \right)}\].
Exemple
\(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$2 \
$$4 \
$$1
\(\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$3 \
$$2 \
$$0
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)$ A a pour dimension \[\left( {3,2} \right)\] \[{a_{12}} = 3\] \[{a_{31}} = 1\]
Définition 4
Soient \[B' = \left\{ {{{\vec e'}_1},{{\vec e'}_2}, \ldots ,{{\vec e'}_n}} \right\}\] la base canonique de \[{\mathbb{R}^n}\] et \[B = \left\{ {{{\vec e}_1},{{\vec e}_2}, \ldots ,{{\vec e}_p}} \right\}\] la base canonique de \[{\mathbb{R}^p}\]. Soit \[{\mathbf{A}} = \left[ {{a_{ij}}} \right]\] une matrice de dimension \[\left( {n,p} \right)\]. Alors :
· \[{\vec c_j} = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}{{\vec e'}_k}} \] est le \(j\)-ième vecteur colonne extrait de \(A\) ; c’est un vecteur de \[{\mathbb{R}^n}\] dont les coordonnées sont \[\left( {{a_{1j}},{a_{2j}}, \ldots ,{a_{nj}}} \right)\].
· ${i} * {h = 1}^p {{a_{ih}}{{e}_h}} $ est le \(i\)-ième vecteur ligne extrait de \(A\) ; c’est un vecteur de \[{\mathbb{R}^p}\] dont les coordonnées sont \[\left( {{a_{i1}},{a_{i2}}, \ldots ,{a_{ip}}} \right)\].
Exemple
\(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$2 \
$$4 \
$$1
\(\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$3 \
$$2 \
$$0
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)$ \[B' = \left\{ {{{\vec e'}_1},{{\vec e'}_2},{{\vec e'}_3}} \right\}\] base de \[{\mathbb{R}^3}\] \[B = \left\{ {{{\vec e}_1},{{\vec e}_2}} \right\}\] base de \[{\mathbb{R}^2}\].
\[{\vec c_1} = 2{\vec e'_1} + 4{\vec e'_2} + {\vec e'_3}\] \[{\vec c_2} = 3{\vec e'_1} + 2{\vec e'_2}\]
\[{\vec \ell _1} = 2{\vec e_1} + 3{\vec e_2}\] \[{\vec \ell _2} = 4{\vec e_1} + 2{\vec e_2}\] \[{\vec \ell _3} = {\vec e_1}\]
Définition
Soient deux matrices \[{\mathbf{A}} = \left[ {{a_{ij}}} \right]\] et \[{\mathbf{B}} = \left[ {{b_{ij}}} \right]\] toutes deux de dimension \[\left( {n,p} \right)\] ;
On additionne terme à terme pour obtenir : \[{\mathbf{A}} + {\mathbf{B}} = \left[ {{a_{ij}} + {b_{ij}}} \right]\] de dimension \[\left( {n,p} \right)\].
**
**
Exemple 1
Soient \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$2 \
$$4 \
$$1
\(\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$3 \
$$2 \
$$0
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)$ et \(${\mathbf{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$1 \
$$0 \
$$1
\(\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$2 \
$$1 \
$$4
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)$. Calculer \[{\mathbf{A + B}}\]. Réponse.
Propriétés
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois matrices de dimension \[\left( {n,p} \right)\] et 0 la matrice \[\left( {n,p} \right)\] dont les éléments sont tous égaux à 0.
(ii) \[{\mathbf{A}} + {\mathbf{0}} = {\mathbf{A}}\] (élément neutre)
(iii) \[{\mathbf{A}} + \left( { - {\mathbf{A}}} \right) = {\mathbf{0}}\] (opposé)
Remarque : \[\boxed{ * {\mathbf{A}} = \left[ { - {a_{ij}}} \right]}\]
Par exemple, si \(${\mathbf{A}} * \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$a&b \
$$c&d
\(\end{array}} \right)\)$, alors \($ - {\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${ - a}&{ - b} \
$${ - c}&{ - d}
\(\end{array}} \right)\)$.
Définition
Soient \[{\mathbf{A}} = \left[ {{a_{ij}}} \right]\] une matrice de dimension \[\left( {n,p} \right)\] et \[\lambda$\in \mathbb{R}$. On définit la matrice \]\[ comme matrice dont tous les coefficients sont multipliés par \]\[ : \] = $$.
\[\lambda {\mathbf{A}}\] est aussi de dimension \[\left( {n,p} \right)\].
Exemple 2
Soient \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$2 \
$$4 \
$$1
\(\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$3 \
$$2 \
$$0
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)$ et \[\lambda$= 3$. Calculer \]$$. Réponse.
Remarque : \[\boxed{ * {\mathbf{A}} = \left( { - 1} \right){\mathbf{A}}}\]
Propriétés
Soient A et B deux matrices de dimension \[\left( {n,p} \right)\] et \[\lambda ,\mu \] deux réels.
(i) \($\lambda \left( {{\mathbf{A}} + {\mathbf{B}}} \right) * \lambda {\mathbf{A}} + \lambda {\mathbf{B}}\)Z$
(ii) \($\left( {\lambda\)+ } ){} = + $
(iii) \[\left( {\lambda \mu } \right){\mathbf{A}} = \lambda \left( {\mu {\mathbf{A}}} \right)\]
(iv) \[1 \times {\mathbf{A}} = {\mathbf{A}}\] et \[0 \times {\mathbf{A}} = {\mathbf{0}}\] (ne pas confondre 0 scalaire et 0 matrice)
Conséquence
Compte tenu des propriétés ci-dessus, l’ensemble des matrices de dimension \[\left( {n,p} \right)\], muni des deux lois précédemment définies, est un espace vectoriel.
Définition
Soient \[{\mathbf{A}} = \left[ {{a_{ik}}} \right]\] une matrice \[\left( {n,p} \right)\] et \[{\mathbf{B}} = \left[ {{b_{kj}}} \right]\] une matrice \[\left( {p,q} \right)\] le produit des deux matrices \[{\mathbf{C}} = {\mathbf{AB}}\] a pour dimension \[\left( {n,q} \right)\] et s’écrit :
\[{\mathbf{C}} = \left[ {{c_{ij}}} \right]\] avec \[{c_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^p {{a_{ik}}} {b_{kj}}\], pour \[i = 1,n\] et \[j = 1,q\]
Remarque
Le produit AB n’est donc possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B (\(p\)).
A=\($\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_{11}}}&{{a_{12}}} \
$${{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\(\end{array}} \right)\)$ et B=\($\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{b_{11}}}&{{b_{12}}} \
$${{b_{21}}}&{{b_{22}}}
\(\end{array}} \right)\)$
C=\($\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_{11}}}&{{a_{12}}} \
$${{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\(\end{array}} \right)\)\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{b_{11}}}&{{b_{12}}} \
{{b_{21}}}&{{b_{22}}}
\end{array}} ) soit C=\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}$ {{a_{11}}{b_{11}} + {a_{12}}{b_{21}}}&{{a_{11}}{b_{12}} + {a_{12}}{b_{22}}} \\ {{a_{21}}{b_{11}} + {a_{22}}{b_{21}}}&{{a_{21}}{b_{12}} + {a_{22}}{b_{22}}} \end{array}} \right)\]
Moyen mnémotechnique
Exemple 3
Soient A=\($\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$2&1 \
$$1&4
\(\end{array}} \right)\)$ et B=\($\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${ - 4}&2 \ $
$$0&2
\(\end{array}} \right)\)$. Calculer AB. Réponse.
Remarques
En général, la multiplication de deux matrices n’est pas commutative :
· Si AB existe, BA n’existe pas forcément.
· Si BA existe, alors généralement \[{\mathbf{AB}} \ne {\mathbf{BA}}\].
Exemple 3 (suite)
Vérifier avec les matrices \(A\) et \(B\) précédentes que \[{\mathbf{AB}} \ne {\mathbf{BA}}\]. Réponse.
Propriétés
Soient \[{\mathbf{A}}\left( {n,p} \right)\], \[{\mathbf{B}}\left( {p,q} \right)\], \[C\left( {q,s} \right)\], \[{\mathbf{D}}\left( {p,q} \right)\] et \[{\mathbf{E}}\left( {q,n} \right)\] :
\[\left( {{\mathbf{AB}}} \right){\mathbf{C}} = {\mathbf{A}}\left( {{\mathbf{BC}}} \right)\] ® associativité [matrice de dimension \[\left( {n,s} \right)\]]
\[{\mathbf{A}}\left( {{\mathbf{B}} + {\mathbf{D}}} \right) = {\mathbf{AB}} + {\mathbf{AD}}\] ® distributivité à gauche [matrice de dimension \[\left( {n,q} \right)\]]
\[\left( {{\mathbf{B}} + {\mathbf{D}}} \right){\mathbf{E}} = {\mathbf{BE}} + {\mathbf{DE}}\] ® distributivité à droite [matrice de dimension \[\left( {p,n} \right)\]]
Définition
Soit \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_{11}}}&{{a_{12}}}& &{{a_{1p}}} \
$${{a_{21}}}&{{a_{22}}}& &{{a_{2p}}} \
$$& & & \
$${{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& &{{a_{np}}}
\(\end{array}} \right)\)$, la matrice transposée de A notée \[{\mathbf{A'}}\] ou \[{}^t{\mathbf{A}}\] est la matrice obtenue en écrivant les lignes de A en colonnes : \(${}^t{\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_{11}}}&{{a_{21}}}& &{{a_{n1}}} \
$${{a_{12}}}&{{a_{22}}}& &{{a_{n2}}} \
$$& & & \
$${{a_{1p}}}&{{a_{2p}}}& &{{a_{pn}}}
\(\end{array}} \right)\)$
Si A a pour dimension \[\left( {n,p} \right)\] alors \[{}^t{\mathbf{A}}\] a pour dimension \[\left( {p,n} \right)\].
Exemple 4
Soit \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$2 \
$$4 \
$$1
\(\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$3 \
$$2 \
$$0
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)\(<b >. </b>Calculer<b > </b>\)\({}^t{\mathbf{A}}\)$. Réponse.
Propriétés
Soient \[{\mathbf{A}}\left( {n,p} \right)\], \[{\mathbf{B}}\left( {n,p} \right)\], \[C\left( {p,q} \right)\] trois matrices et soit \($\lambda\)$ :
(ii) \[{}^t\left( {{}^t{\mathbf{A}}} \right) = {\mathbf{A}}\]
\[{}^t\left( {\lambda {\mathbf{A}}} \right) = \lambda {}^t{\mathbf{A}}\]
\[{}^t\left( {{\mathbf{AC}}} \right) = {}^t{\mathbf{C}}{}^t{\mathbf{A}}\]
Exemple 5 (propriété (i))
Soient \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$2 \
$$4 \
$$1
\(\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$3 \
$$2 \
$$0
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)$ et \(${\mathbf{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$3 \
$$1 \
$${ - 1}
\(\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1 \
$${ - 2} \
$$1
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)$. Vérifier que \[{}^t\left( {{\mathbf{A}} + {\mathbf{B}}} \right) = {}^t{\mathbf{A}} + {}^t{\mathbf{B}}\]. Réponse.
**
**
Exemple 6 (propriété (iv))
Soient \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$2 \
$$4 \
$$1
\(\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$3 \
$$2 \
$$0
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)$ et \(${\mathbf{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$1&{ - 1}&0
$\end{array}} \ $
$${\begin{array}{*{20}{c}}
$$2&0&3
$\end{array}} $
\(\end{array}} \right)\)$. Vérifier que \[{}^t\left( {{\mathbf{AC}}} \right) = {}^t{\mathbf{C}}{}^t{\mathbf{A}}\]. Réponse.
Définition
Une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes est appelée matrice carrée. Si elle a pour dimension \[\left( {n,n} \right)\], on dit alors qu’elle est d’ordre \(n\).
Rappelons que l’addition et la multiplication de matrices ne sont pas définies pour des matrices quelconques. Cependant, si on considère uniquement des matrices carrées d’ordre \(n\) donné, alors les opérations d’addition, de multiplication, de multiplication par un scalaire, et de transposition sont définies et leurs résultats sont encore des matrices carrées d’ordre \(n\).
Exemple
Soient \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1&2&3 \
$${ - 4}&{ - 4}&{ - 4} \
$$5&6&7
\(\end{array}} \right)\)$ et \(${\mathbf{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$2&{ - 5}&1 \
$$0&3&{ - 2} \
$$1&2&{ - 4}
\(\end{array}} \right)\)\(. *\)A\(* et *\)B$* sont des matrices carrées d’ordre 3.
Vérifier que \[{\mathbf{A}} + {\mathbf{B}}\], \[2{\mathbf{A}}\], \[{}^t{\mathbf{A}}\] et \[{\mathbf{AB}}\] sont également des matrices carrées d’ordre 3. Réponse.
Définition 1
On appelle diagonale (ou diagonale principale) d’une matrice carrée d’ordre \(n\), les éléments \[{a_{11}},{a_{22}}, \ldots ,{a_{nn}}\] de la matrice.
Exemple
\(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \
$${{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \
$${{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\(\end{array}} \right)\)$ \[{a_{11}},{a_{22}},{a_{33}}\] sont les éléments de la diagonale de A
Définition 2
Une matrice carrée \[{\mathbf{D}} = \left[ {{d_{ij}}} \right]\] est dite diagonale si tous ses éléments non diagonaux sont nuls. Une telle matrice est fréquemment notée \[{\mathbf{D}} = diag\left( {{d_{11}},{d_{22}}, \ldots ,{d_{nn}}} \right)\] où certains ou tous les scalaires \[{d_{ii}}\] peuvent être égaux à zéro.
Exemples
\(${{\mathbf{D}}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1&0&0 \
$$0&3&0 \
$$0&0&2
\(\end{array}} \right)\)$ \(${{\mathbf{D}}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$4&0 \
$$0&{ - 5}
\(\end{array}} \right)\)$ \(${{\mathbf{D}}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1&0&0&0 \
$$0&0&0&0 \
$$0&0&{ * 2}&0 \
$$0&0&0&5
\(\end{array}} \right)\)$
Définition
Une matrice carrée d’ordre \(n\) ne comportant que des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs, est notée \[{{\mathbf{I}}_n}\] et est appelée matrice unité ou matrice identité.
Exemple
\(${{\mathbf{I}}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1&0&0 \
$$0&1&0 \
$$0&0&1
\(\end{array}} \right)\)$
Propriété 1
Quelle que soit \[{\mathbf{A}}\left( {n,p} \right)\] \[{\mathbf{A}}{{\mathbf{I}}_p} * {{\mathbf{I}}_n}{\mathbf{A}} = {\mathbf{A}}\]
Exemple
Soit \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1&3 \
$${ - 2}&0 \
$$4&1
\(\end{array}} \right)\)$. Vérifier que \[{\mathbf{A}}{{\mathbf{I}}_2} = {{\mathbf{I}}_3}{\mathbf{A}}\]. Réponse.
Propriété 2
La matrice \[\lambda {{\mathbf{I}}_n}\], pour tout \[\lambda$\in \mathbb{R}$, est appelée ***matrice scalaire***. C’est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont tous égaux à \]$$.
Exemple
\($\lambda {{\mathbf{I}}_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$&0&0 \
$$0&&0 \
$$0&0&
\(\end{array}} \right)\)$
Remarque
On parle de « matrice scalaire » car elle joue le même rôle que celui d’un scalaire dans la multiplication d’une matrice par un scalaire : \[{\mathbf{A}}\left( {\lambda {{\mathbf{I}}_p}} \right) = \left( {\lambda {{\mathbf{I}}_n}} \right){\mathbf{A}} = \lambda {\mathbf{A}}\].
Définition
Une matrice carrée A, d’ordre \(n\), est dite inversible ou non singulière, s’il existe une matrice carrée B d’ordre \(n\) telle que \[{\mathbf{AB}} = {\mathbf{BA}} = {{\mathbf{I}}_n}\], Une telle matrice \(B\) est unique, d’ordre* n* ; on l’appelle matrice inverse de \(A\) et on la note \[{{\mathbf{A}}^{ - 1}}\].
Remarque
La relation précédente est symétrique, c’est-à-dire que si \(B\) est l’inverse de \(A\), alors \(A\) est l’inverse de \(B\).
Définition
Une matrice carrée est dite symétrique si et seulement si \[{}^t{\mathbf{A}} = {\mathbf{A}}\]. Autrement dit si \[\forall * \ne j\], \[{a_{ij}} = {a_{ji}}\].
**
**
Exemple
\(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1&2&{ - 3} \
$$2&4&9 \
$${ - 3}&9&0
\(\end{array}} \right)\)$
Définition
Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont les éléments au-dessous (ou au-dessus) de la diagonale principale sont tous nuls.
Exemples
\($\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1&2&{ * 3} \
$$0&4&9 \
$$0&0&2
\(\end{array}} \right)\)$ : Matrice triangulaire supérieure
\($\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1&0&0 \
$$2&3&0 \
$$4&8&2
\(\end{array}} \right)\)$ : Matrice triangulaire inférieure
Définition
Une matrice carrée d’ordre \(n\) est dite orthogonale si \[{\mathbf{A}}{}^t{\mathbf{A}} = {}^t{\mathbf{AA}} = {{\mathbf{I}}_n}\].
Exemple
\(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${}&{}&{} \
$${}&{}&{} \
$${}&{}&{}
\(\end{array}} \right)\)$
Propriété
Si \(A\) est une matrice orthogonale, alors elle est inversible et \[{{\mathbf{A}}^{ - 1}} = {}^t{\mathbf{A}}\].
Définition
Une matrice carrée d’ordre \(n\) est dite normale si \[{\mathbf{A}}{}^t{\mathbf{A}} = {}^t{\mathbf{AA}}\], autrement dit si \(A\) et sa transposée \[{}^t{\mathbf{A}}\] commutent.
Remarque
Il est clair que si \(A\) est symétrique ou orthogonale, alors elle est normale. Mais il existe d’autres matrices normales.
Exemple
\(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$6&{ - 3} \
$$3&6
\(\end{array}} \right)\)$
On rappelle que \(${E^n} = \underbrace {E \times E \times\) E}_{n - fois}$.
Définition 1
· Soit \(E\) un espace vectoriel. Une application de \[D:{E^n} \to F\] est une application multilinéaire ou \(n\)‑linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables :
(i) Soit \[\left( {{{\vec x}_1},{{\vec x}_2}, \ldots ,{{\vec x}_n}} \right) \in {E^n}\] tel que \[{\vec x_i} = {\vec u_i} + {\vec v_i}\]. Alors : * \[D\left( {{{\vec x}_1}, \ldots ,{{\vec u}_i} + {{\vec v}_i}, \ldots ,{{\vec x}_n}} \right) = D\left( {{{\vec x}_1}, \ldots ,{{\vec u}_i}, \ldots ,{{\vec x}_n}} \right) + D\left( {{{\vec x}_1}, \ldots ,{{\vec v}_i}, \ldots ,{{\vec x}_n}} \right)\]
(ii) Soit \[\left( {{{\vec x}_1},{{\vec x}_2}, \ldots ,{{\vec x}_n}} \right) \in {E^n}\] tel que \[{\vec x_i} = \lambda {\vec u_i}\] avec \[\lambda$\in \mathbb{R}$. Alors :</span> * \]D( {{{x}_1}, ,, ,{{x}_n}} ) = D( {{{x}_1}, ,{{u}_i}, ,{{x}_n}} )$$
· Si \[F = \mathbb{R}\], on dit que D est une forme \(n\)‑linéaire.
Définition 2
Soit \(E\) un espace vectoriel et \[D:{E^n} \to \mathbb{R}\] une forme \(n\)-linéaire. On dit que \(D\) est alternée si \[D\left( {{{\vec x}_1}, \ldots ,{{\vec x}_i}, \ldots ,{{\vec x}_j}, \ldots ,{{\vec x}_n}} \right) = 0\] chaque fois que deux des \[{\vec x_i}\] sont identiques : * \[D\left( {{{\vec x}_1}, \ldots ,{{\vec x}_i}, \ldots ,{{\vec x}_j}, \ldots ,{{\vec x}_n}} \right) = 0\] dès que \[{\vec x_i} = {\vec x_j}\] pour \[i \ne j\]
Théorème
Il existe une unique application \[D:{\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)^n} \to \mathbb{R}\] telle que :
(i) \(D\) est une forme \(n\)-linéaire ;
(ii) \(D\) est alternée ;
(iii) \[D\left( {{{\vec e}_1}, \ldots ,{{\vec e}_i}, \ldots ,{{\vec e}_n}} \right) = 1\] où les \[{\vec e_i}\] sont les vecteurs de la base canonique de \[{\mathbb{R}^n}\].
Définition
Cette application \[D:{\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)^n} \to \mathbb{R}\] \(n\)-linéaire alternée et telle que \[D\left( {{{\vec e}_1}, \ldots ,{{\vec e}_i}, \ldots ,{{\vec e}_n}} \right) = 1\] est appelée déterminant. On la note généralement det.
Remarque
Soit \[V\] une famille de vecteurs \[{\vec v_j}\], \[j * 1,n\]. Alors \[V = \left( {{{\vec v}_1},{{\vec v}_2}, \ldots ,{{\vec v}_n}} \right) \in {\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)^n}\] et \[\det \left( {{{\vec v}_1},{{\vec v}_2}, \ldots ,{{\vec v}_n}} \right) \in \mathbb{R}\].
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\). Soit \[{\mathbf{A}} * \left[ {{a_{ij}}} \right]\]. Chaque colonne de \(A\) peut alors être considérée comme un vecteur de \[{\mathbb{R}^n}\] :
\(${\mathbf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{{v}_1}}&& {{{v}_2}}&& && {{{v}_p}}
\(\end{array}} \right]\)$ avec \[{\vec v_j} = \left( {{a_{1j}},{a_{2j}}, \ldots ,{a_{nj}}} \right)\] pour \[j = 1,n\]
Ainsi, la définition de la notion de déterminant d’une matrice carrée est étroitement liée à la définition du déterminant d’un système de vecteurs :
\[\det \left( {\mathbf{A}} \right) = \det \left( {{{\vec v}_1},{{\vec v}_2}, \ldots ,{{\vec v}_n}} \right)\]
On note alors \($\det \left( {\mathbf{A}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_{11}}}& &{{a_{1n}}} \
$$& & \
$${{a_{n1}}}& &{{a_{nn}}}
\(\end{array}} \right|\)$, et on par le de déterminant d’ordre \(n\).
La suite du chapitre traite du calcul pratique des déterminants.
Définition
Soit \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$a&c \
$$b&d
\(\end{array}} \right)\)$. Alors \($\det \left( {\mathbf{A}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$a&c \
$$b&d
\(\end{array}} \right| = a \times d - b \times c\)$.
Moyen mnémotechnique
<!–[if gte vml 1]>
Exemple 8
Soit \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$2&5 \
$$3&7
\(\end{array}} \right)\)$. Calculer \[\det \left( {\mathbf{A}} \right)\]. Réponse.
<!–[if gte vml 1]>
Soit \(${\mathbf{M}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}} \
$${{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \
$${{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}
\(\end{array}} \right)\)$. * <!–[if gte vml 1]>
\[\det \left( {\mathbf{M}} \right) = {a_1}{b_2}{c_3} + {a_2}{b_3}{c_1} + {a_3}{b_1}{c_2} - {a_3}{b_2}{c_1} - {a_1}{b_3}{c_2} - {a_2}{b_1}{c_3}\]
Exemple 9
Soit \(${\mathbf{M}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$2&1&0 \
$$1&4&2 \
$$3&1&1
\(\end{array}} \right)\)$. Calculer \[\det \left( {\mathbf{M}} \right)\] par la règle de Sarrus. Réponse.
L’astuce consiste à se ramener à des déterminants d’ordre inférieur jusqu’à obtenir des déterminants d’ordre 2. Pour cela, on développe le déterminant par rapport à une ligne ou une colonne.
Soit \($\Delta\)= | {\begin{array}{*{20}{c}}
$${{a_{11}}}&{{a_{12}}}& &{{a_{1n}}} \
$${{a_{21}}}&{{a_{22}}}& &{{a_{2n}}} \
$$& & & \
$${{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& &{{a_{nn}}}
\(\end{array}} \right|\)$ un déterminant d’ordre \(n\).
\($\Delta\)= {j = 1}^n {{a{ij}}} {X_{ij}}$, développement par rapport à la ligne \(i\)
\($\Delta\)= {i = 1}^n {{a{ij}}} {X_{ij}}$, développement par rapport à la colonne \(j\)
où \[{X_{ij}}\] est le cofacteur de l’élément \[{a_{ij}}\] : \[{X_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}{\Delta _{ij}}\]
\[{\Delta _{ij}}\] est le mineur de \[{a_{ij}}\] c’est-à-dire le déterminant d’ordre \[\left( {n - 1} \right)\] extrait de \[\Delta \] en enlevant la \(i\)ème ligne et la \(j\)ème colonne.
Application :
\($\Delta\)= {a_{11}}{X_{11}} + {a_{12}}{X_{12}} + {a_{1p}}{X_{1p}}$ (ligne 1)
\($\Delta\)= {a_{11}}{X_{11}} + {a_{21}}{X_{21}} + {a_{p1}}{X_{p1}}$ (colonne 1)
\(${X_{11}} =\)+ {_{11}} = | {\begin{array}{*{20}{c}}
$${{a_{22}}}& &{{a_{2p}}} \
$$& & \
$${{a_{p2}}}& &{{a_{pp}}}
\(\end{array}} \right|\)$ \(${X_{12}} =\)- {_{12}} = | {\begin{array}{*{20}{c}}
$${{a_{21}}}& &{{a_{2p}}} \
$$& & \
$${{a_{p1}}}& &{{a_{pp}}}
\(\end{array}} \right|\)$
Remarque
La répartition des signes à prendre devant les mineurs \[{\left( { - 1} \right)^{i + j}}\], est alternée à partir du signe + pour l’élément \[{a_{11}}\].
Par exemple, pour un déterminant d’ordre 5 :
\($\Delta\)= | {\begin{array}{*{20}{c}}
$${{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}} \
$${{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \
$${{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}
\(\end{array}} \right|\)$
\($\Delta\)= {a_1}{X_{11}} + {a_2}{X_{21}} + {a_3}{X_{31}}$ (colonne 1)
\($\Delta\)= {a_1}{{11}} - {a_2}{{21}} + {a_3}{_{31}}$
\($\Delta\)= {a_1}| {\begin{array}{*{20}{c}}
$${{b_2}}&{{c_2}} \
$${{b_3}}&{{c_3}}
\(\end{array}} \right| - {a_2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{b_1}}&{{c_1}} \
$${{b_3}}&{{c_3}}
\(\end{array}} \right| + {a_3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{b_1}}&{{c_1}} \
$${{b_2}}&{{c_2}}
\(\end{array}} \right|\)$
\($\Delta\)= {a_1}( {{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}} ) - {a_2}( {{b_1}{c_3} - {b_3}{c_1}} ) + {a_3}( {{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}} )$
Exemple 10
Calculer le déterminant suivant \($\Delta\)= | {\begin{array}{*{20}{c}}
$$1&1&4 \
$$2&{ - 1}&3 \
$${ - 2}&4&3
\(\end{array}} \right|\)$, avec la méthode des cofacteurs. Réponse.
Propositions
® Si A a deux lignes (ou deux colonnes) identiques alors \[\det \left( {\mathbf{A}} \right) = 0\]
\($\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$a&c \
$$b&d
\(\end{array}} \right| = ad - bc\)$ et \($\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$c&a \
$$d&b
\(\end{array}} \right| = bc - ad =\)- (ad - bc)$
\($\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$a&b \
$$c&d
\(\end{array}} \right| = ad - bc\)$
\($\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${a + b}&b \
$${c + d}&d
\(\end{array}} \right| = (a + b)d - b(c + d) = ad + bd - bc - bd = ad - bc\)$
\($\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$a&b \
$${c}&{d}
\(\end{array}} \right| = a\lambda d - b\lambda c = \lambda (ad - bc)\)$
Exemple : \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_1}}&0&0 \
$$0&{{a_3}}&0 \
$$0&0&{{a_3}}
\(\end{array}} \right) \Rightarrow \det \left( {\mathbf{A}} \right) = {a_1}{a_2}{a_3}\)$
Le déterminant est une fonction multiplicative.
\[\det \left( {{}^t{\mathbf{A}}} \right) = \det \left( {\mathbf{A}} \right)\]
\[\det \left( {{{\mathbf{A}}^{ - 1}}} \right) = \frac{1}{{\det \left( {\mathbf{A}} \right)}}\]
\[\det \left( {\lambda {\mathbf{A}}} \right) = {\lambda ^n}\det \left( {\mathbf{A}} \right)\]
Exemple 11 (propositions b et c)
Soit \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$1&1&4 \
$$2&{ - 1}&3 \
$${ - 2}&4&3
\(\end{array}} \right)\)$. Vérifier les propositions \(b\) et \(c\) précédentes. Réponse.
Les déterminants sont liés aux aires et aux volumes. Soient \[{\vec u_1},{\vec u_2}, \ldots ,{\vec u_n}\] des vecteurs de \[{\mathbb{R}^n}\].
Soit \(S\) le parallélépipède (solide) déterminé par ces vecteurs :
\($S = \left\{ {{{{\alpha _1}{{\vec u}_1} + {\alpha _2}{{\vec u}_2} +\)+ {_n}{{u}_n}} }} }$
Lorsque \[n = 2\], \(S\) est un parallélogramme.
Soit \[V\left( S \right)\] le volume de \(S\) (ou la surface de \(S\) dans le cas \[n = 2\]). Alors :
\[V\left( S \right) = \left| {\det \left( {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}, \ldots ,{{\vec u}_n}} \right)} \right|\]
Si on appelle \(A\) la matrice dont les colonnes correspondent aux vecteurs \[{\vec u_1},{\vec u_2}, \ldots ,{\vec u_n}\], alors :
\[V\left( S \right) = \left| {\det \left( {\mathbf{A}} \right)} \right|\]
Proposition
\[V\left( S \right) = \left| {\det \left( {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}, \ldots ,{{\vec u}_n}} \right)} \right| = 0\] si et seulement si les vecteurs \[{\vec u_1},{\vec u_2}, \ldots ,{\vec u_n}\] sont linéairement dépendants.
Vérification dans le cas \[n = 2\]* *: voir chapitre 5, paragraphe 7.
Définition
Considérons une matrice carrée A d’ordre \(n\), la matrice des cofacteurs \[{X_{ij}}\] des éléments \[{a_{ij}}\] de A notée \[adj{\mathbf{A}}\] est appelée matrice adjointe de A ou co-matrice de A.
\[adj{\mathbf{A}} = com{\mathbf{A}} = \left[ {{X_{ij}}} \right] = \left[ {{{\left( { - 1} \right)}^{i + j}}{\Delta _{ij}}} \right]\]
<!–[if gte vml 1]>
\(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_{11}}}&{{a_{12}}} \
$${{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\(\end{array}} \right)\)$. Calculer \[adj{\mathbf{A}}\]. Réponse.
Théorème 1
Soit A une matrice carrée d’ordre \(n\). Alors A est une matrice inversible si et seulement si \[\det \left( {\mathbf{A}} \right) \ne 0\].
Théorème 2
Soit A une matrice carrée quelconque d’ordre \(n\). Alors : * \[{\mathbf{A}} \times {}^t\left( {adj{\mathbf{A}}} \right) = {}^t\left( {adj{\mathbf{A}}} \right) \times {\mathbf{A}} = \det \left( {\mathbf{A}} \right) \times {{\mathbf{I}}_n}\] où \[{{\mathbf{I}}_n}\] est la matrice identité d’ordre \(n\).
Théorème 3
Soit A une matrice carrée quelconque d’ordre \(n\). Si \[\det \left( {\mathbf{A}} \right) \ne 0\], alors * est inversible et :
\[{{\mathbf{A}}^{ - 1}} * \frac{1}{{\det \left( {\mathbf{A}} \right)}}{}^t\left( {adj{\mathbf{A}}} \right)\]
Soit A=\($\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$a&b \
$$d&c
\(\end{array}} \right)\)$. On sait que |A| = det(A) = (ac-bd).
La matrice adjointe de A est adjA =\($\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$c&{ - d} \
$${ - b}&a
\(\end{array}} \right)\)$ : \(${{\mathbf{A}}^{ - 1}} = \frac{1}{{(ac - bd)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$c&{ - b} \
$${ - d}&a
\(\end{array}} \right)\)$.
Exemple 13
Soit \(${\mathbf{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$2&5 \
$$3&7
\(\end{array}} \right)\)$. Calculer \[{{\mathbf{A}}^{ - 1}}\]. Réponse.
Définition
Si \[{\mathbf{A}} = diag\left[ {{a_{ii}}} \right]\] est une matrice diagonale inversible d’ordre \(n\) :
\($\det \left( {\mathbf{A}} \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {{a_{ii}}}\)0 i = 1,n 0$
\[{{\mathbf{A}}^{ - 1}} * diag\left[ {\frac{1}{{{a_{ii}}}}} \right]\]
\(${\mathbf{A}} * \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{a_{11}}}&{}&{}&{}&{} \
$${}&{{a_{22}}}&{}&0&{} \
$${}&{}& &{}&{} \
$${}&0&{}& &{} \
$${}&{}&{}&{}&{{a_{pp}}}
\(\end{array}} \right)\)$ \(${{\mathbf{A}}^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{1 }}&{}&{}&{}&{} \
$${}&{{1 }}&{}&0&{} \
$${}&{}& &{}&{} \
$${}&0&{}& &{} \
$${}&{}&{}&{}&{{1 }}
\(\end{array}} \right)\)$
D’un point de vue général, on peut dire que l’on utilise les matrices pour stocker des données expérimentales. Mais nous allons voir que l’on utilise aussi les matrices pour décrire la dynamique de certaines populations animales.
<!–[if gte vml 1]>
Si chaque jour de l’année, on mesure la surface foliaire de \(n\) plantes, on peut mettre ces données sous la forme :
\($\begin{gathered}\)
$$\begin{array}{*{20}{c}}
$${}&1& &j& &{p = 365{}}
\(\end{array} \hfill \\\)
$$\begin{array}{*{20}{c}}
$$1 \
$$\
$$i \
$$\
$$n
\(\end{array}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${}&{}& &{}&{} \
$${}&{}& &{}&{} \
$$& &{{a_{ij}}}&{}&{} \
$${}&{}&{}&{}&{} \
$${}&{}&{}&{}&{}
$\end{array}} ) \ $
$\end{gathered} $$
où \[{a_{ij}}\] représente la surface folière de la plante \(i\) au jour \(j\), avec \(i\) variant de 1 à \(n\) et \(j\) variant de 1 à 365 jours.
<!–[if gte vml 1]>
L’ombre commun est un poisson de rivière froide, pure et à cours relativement lent que l’on trouve généralement plus en aval que les truites. La période de reproduction se situe au printemps.
Les jeunes d’un an mesurent en moyenne 15 cm et sont tous immatures. Les poissons de 2 ans mesurent 27 cm et la moitié d’entre eux sont adultes (i.e. sexuellement matures). À 3 ans tous les poissons sont adultes et mesurent en moyenne 35 cm.
On admettra dans la suite que la sex-ratio est 1.
Une femelle fournit chaque année 200 alevins, 90 % d’entre eux meurent avant 1 an. 50 % des jeunes d’un an meurent avant l’âge de 2 ans. A partir de l’âge de 2 ans, 40% des poissons meurent par an.
<!–[if gte vml 1]>
On fait ici l’hypothèse que les individus de 2 ans sont à 50% matures l’année qui suit leurs 2 ans. On pourrait faire une autre hypothèse qui serait celle de considérer que les individus de 1 an sont matures dès l’année de leurs 2 ans. ****VOIR****.
On représente la population, au printemps de l’année \(n\), par le vecteur :
\({P_n} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$${{N_a}} \
$${{N_1}} \
$${{N_2}} \
$${{N_3}}
\(\end{array}} \right)_n}\quad \begin{array}{*{20}{l}}\)
$${{N_a}:{}} \
$${{N_1}:{}} \
$${{N_2}:{}} \
$${{N_3}:{}}
\(\end{array}\)
Compte tenu des informations sur l’espèce, on peut alors écrire :
\(\begin{array}{*{20}{l}}\)
$${{N_{a,n + 1}} = 200 {sex - ratio}( {{% {}}{N_{2,n}} + {N_{3,n}}} ) _{survie}} \
$${{N_{1,n + 1}} = 0.1{N_{a,n}}} \
$${{N_{2,n + 1}} = 0.5{N_{1,n}}} \
$${{N_{3,n + 1}} = 0.6( {{N_{3,n}} + {N_{2,n}}} )}
\(\end{array}\)
Ce qui peut bien sûr se réécrire en notation matricielle :
\({P_{n + 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
$$0&0&{30}&{60} \
$${0.1}&0&0&0 \
$$0&{0.5}&0&0 \
$$0&0&{0.6}&{0.6}
\(\end{array}} \right){P_n} \Leftrightarrow \boxed{{P_{n + 1}} = {\mathbf{A}}{P_n}}\)
La matrice \(A\) permet de décrire l’évolution d’année en année de l’effectif des quatre classes d’âge de la population.
Ainsi, si on suppose que l’on lâche dans une rivière dépeuplée 100 ombres adultes (de 3 ans) après leur période de reproduction, on peut alors étudier l’évolution du repeuplement de la rivière au cours du temps :
· A \[n = 0\] (le moment de la réintroduction des ombres), on a \[{P_0} = \left( {0,0,0,100} \right)\]
\(·<span >\)L’année suivante, à \[n = 1\], on a \({P_1} = {\mathbf{A}}{P_0}\), soit : \({P_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
\(·<span >\)$$0&0&{30}&{60} \
\(·<span >\)$${0.1}&0&0&0 \
\(·<span >\)$$0&{0.5}&0&0 \
\(·<span >\)$$0&0&{0.6}&{0.6}
\(·<span >\)\(\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
\(·<span >\)$$0 \
\(·<span >\)$$0 \
\(·<span >\)$$0 \
\(·<span >\)$${100}
\(·<span >\)\(\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
\(·<span >\)$${6000} \
\(·<span >\)$$0 \
\(·<span >\)$$0 \
\(·<span >\)$${60}
· \(\end{array}} \right)\)
\(·<span >\)A \[n = 2\], on a \({P_2} = {\mathbf{A}}{P_1}\), c’est-à-dire \({P_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
\(·<span >\)$$0&0&{30}&{60} \
\(·<span >\)$${0.1}&0&0&0 \
\(·<span >\)$$0&{0.5}&0&0 \
\(·<span >\)$$0&0&{0.6}&{0.6}
\(·<span >\)\(\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
\(·<span >\)$${6000} \
\(·<span >\)$$0 \
\(·<span >\)$$0 \
\(·<span >\)$${60}
\(·<span >\)\(\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\)
\(·<span >\)$${3600} \
\(·<span >\)$${60} \
\(·<span >\)$$0 \
\(·<span >\)$${36}
· \(\end{array}} \right)\).
· Et ainsi de suite…
On peut remarquer que \({P_2} * {\mathbf{A}}{P_1} = {\mathbf{AA}}{P_0} = {{\mathbf{A}}^2}{P_0}\) ; dans le cas général, on peut connaître les effectifs des quatre classes d’âge pour n’importe quelle année \(n\) par la relation : \(\boxed{{P_n} = {{\mathbf{A}}^n}{P_0}}\).
On comprend alors tout l’intérêt de savoir calculer simplement \({{\mathbf{A}}^n}\).
Voir chapitre 4
Heureusement des logiciels existent pour palier « ce problème », et en particulier la boîte à outils PopTools qui fonctionne sous Excel.
Voici la simulation que l’on obtient avec PopTools :
<!–[if gte vml 1]>