Chapitre 2/ Limites – Continuité

1.1.1 Limite en un point

Définitions :

Soient \(f:I \to \mathbb{R}\) et \({x_0} \in I\) (\({x_0}\) peut être une des extrémités de \(I\)).

· Soit \(\ell \in \mathbb{R}\). On dit que $$ est limite de \(f\) en \({x_0}\), ou bien que \(f\left( x \right)\) tend vers $$ lorsque \(x\) tend vers \({x_0}\) (\(x \to {x_0}\)), si : * \(\forall \varepsilon > 0,{\text{ }}\exists \alpha > 0\) tel que \(x \in I\) et $| {x - {x_0}} | < | {f( x ) - } | $

On note ${x } f( x ) = $ ou ${{x_0}} f( x ) = $ ou $f( x )$

· On dit que \(+ \infty\) est limite de* f* en \({x_0}\) ($_{x } f( x ) = + $) si : * \(\forall A \in \mathbb{R},{\text{ }}\exists \alpha > 0\) tel que \(x \in I\) et \(\left| {x - {x_0}} \right| < \alpha \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant A\)

· De même, on dit que \(- \infty\) est limite de \(f\) en \({x_0}\) ($_{x } f( x ) = - $) si : * \(\forall A \in \mathbb{R},{\text{ }}\exists \alpha > 0\) tel que \(x \in I\) et \(\left| {x - {x_0}} \right| < \alpha \Rightarrow f\left( x \right) \leqslant A\)

Exemples

1.1.2 Limites en \(+ \infty\) et \(- \infty\)

1.1.3 Limite par valeurs supérieures ou inférieures

Définition :

Soit \(f:I \to \mathbb{R}\) telle que $_{x } f( x ) = $ (\({x_0} \in \bar{\mathbb{R}}\)).}Quand \(x\) tend vers \({x_0}\), on dit que \(f\left( x \right)\) tend vers $$ par valeurs supérieures (resp. inférieures) si, au voisinage de \({x_0}\), $f( x ) $ (resp. $f( x ) $).

On note alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {\ell ^ + }\) (resp. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {\ell ^ - }\)).

1.1.4 Limites à gauche et à droite

1.2.1 Limite d’une somme

?: on parle alors de forme indéterminée

Exemples

1.2.2 Limite d’un produit

ou : on décide de $$ suivant le signe de $$, en appliquant la règle des signes.

Exemples

1.2.3 Limite d’un quotient

ou : on décide de \(\pm \infty\) suivant le signe de \(\ell\), en appliquant la règle des signes.

ou : on décide de \(\pm \infty\) suivant le signe de \(\ell '\), en appliquant la règle des signes.

Remarques

• Lorsque le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend vers zéro : \({0^ * }\) ou \({0^ - }\) selon la règle des signes.

• Lorsque le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur vers zéro, le quotient tend vers l’infini : \(+ \infty\) ou \(- \infty\) selon la règle des signes.

Exemples

Proposition 1

S’il existe une fonction \(g\) et un réel \(A\) tels que \(\forall x \geqslant A{\text{, }}f\left( x \right) \geqslant g\left( x \right)\) et ${x + } g( x ) = + $, alors : ${x + } f( x ) = + $.

Démonstration

Exemple

Proposition 2

S’il existe une fonction \(g\) et un réel \(A\) tels que \(\forall x \geqslant A{\text{, }}f\left( x \right) \leqslant g\left( x \right)\) et ${x + } g( x ) = - $, alors : ${x + } f( x ) = - $.

Démonstration

Théorème « des gendarmes »

S’il existe deux fonctions \(g\) et \(h\), un réel \(A\) tels que \(\forall x \geqslant A{\text{, }}g\left( x \right) \leqslant f\left( x \right) \leqslant h\left( x \right)\) et ${x + } g( x ) = $ et ${x + } h( x ) = $, alors $_{x + } f( x ) = $.

Démonstration

Exemple

Proposition 3

S’il existe une fonction \(g\) et un réel \(A\) tels que \(\forall x \geqslant A{\text{, }}\left| {f\left( x \right) - \ell } \right| \leqslant g\left( x \right)\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0\), alors : $_{x + } f( x ) = $.

Démonstration

Proposition 4

S’il existe deux fonctions \(f\) et \(g\) et un réel \(A\) tels que \(\forall x \geqslant A{\text{, }}g\left( x \right) \leqslant f\left( x \right)\) ; si $_{x + } f( x ) = $ et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \ell '\), alors $’ $.

Démonstration

Exemple

Méthode

Pour déterminer une limite à l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle, dans le cas où les théorèmes précédents ne s’appliquent pas, on transforme l’expression \(f\left( * \right)\) en factorisant chaque polynôme par le terme de plus haut degré.

Cas d’une fonction polynôme

On cherche à calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^2} + ax + b} \right)\) avec \(a,b > 0\).

On a ${x + } - {x^2} = - $ et ${x + } ( {ax + b} ) = + $ ; la somme est indéterminée.

On transforme le polynôme : $ - {x^2} + ax + b = {x^2}( { - 1 + * } )$.

Or \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{a}{x} = 0\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{b}{{{x^2}}} = 0\) ;

Donc comme somme \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}}} \right) = - 1\) et comme produit $_{x + } {x^2}( { - 1 + + } ) = - $.

La limite à l’infini d’un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré

${x + } ( { - {x^2} + ax + b} ) = {x + } - {x^2} = - $

Cas d’une fraction rationnelle

On cherche à calculer \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a - bx}}{{{x^2} + c}}\) avec \(a,b,c > 0\).

${x - } a - bx = + $ et ${x - } {x^2} + c * + $ ; le quotient est donc indéterminé.

Pour \(x \ne 0\), on * : \(\frac{{a - bx}}{{{x^2} + c}} = \frac{{x\left( {\frac{a}{x} - b} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + \frac{c}{{{x^2}}}} \right)}} = \frac{1}{x}\frac{{\left( {\frac{a}{x} - b} \right)}}{{\left( {1 + \frac{c}{{{x^2}}}} \right)}}\). Ainsi :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{a}{x} = 0\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{c}{{{x^2}}} = 0\), donc : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{a}{x} - b = - b\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 1 + \frac{c}{{{x^2}}} = 1\). Finalement :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{a}{x} - b}}{{1 + \frac{c}{{{x^2}}}}} = - b\) et donc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x}\frac{{\frac{a}{x} - b}}{{1 + \frac{c}{{{x^2}}}}} = {0^ - }\)

La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient simplifié de ses termes de plus haut degré

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a - bx}}{{{x^2} + c}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - bx}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - b}}{x} = 0\)

1.6.1 Etude des branches infinies

Considérons une fonction \(f\) définie sur un domaine \({D_f}\) de \(\mathbb{R}\). Soit $$ sa courbe représentative.

1.6.2 Direction asymptotique

On recherche une direction asymptotique lorsque $_{x } f( * ) = $.

* * * *

D’après AZOULAY et AVIGNANT

La courbe $$* admet* une direction asymptotique si la droite OM tend vers une position limite lorsque le point \(M\) s’éloigne à l’infini sur $$.

Le coefficient directeur de OM est \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). S’il existe une direction asymptotique, alors \(\frac{{f\left( * \right)}}{x}\) tend vers une limite finie $$.

Si $ $ lorsque $x $, on dit que $$ admet une branche parabolique dans la direction Oy.

Exemples

1.6.3 Asymptotes

D’après AZOULAY et AVIGNANT

La courbe $$ admet une asymptote oblique \(D\) d’équation \(y = ax + b\), si la distance entre \(M\) et la droite \(D\) ($ $) tend vers 0 lorsque \(M\) s’éloigne à l’infini sur $$.

La pente de \(D\) est :

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\)

Pour déterminer l’ordonnée à l’origine de \(D\), on montre que \(f\left( x \right) - ax\) tend vers \(b\) lorsque $x $, ou bien alors que \(f\left( x \right) - ax - b\) tend vers 0 lorsque $x $.

Si \(f\left( x \right) - ax \to \pm \infty\), on dit que \(\Gamma\) admet une branche parabolique de pente \(a\).

Exemple

Définitions

Soit \(f\) une fonction définie sur \(I \subseteq \mathbb{R}\). Soit \({x_0} \in I\).

• On dit que \(f\) est continue en \({x_0}\) si et seulement si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\), c’est-à-dire si : * \(\forall \varepsilon > 0,{\text{ }}\exists \alpha > 0\) tel que \(x \in I\) et $| {x - {x_0}} | < | {f( x ) - f( {{x_0}} )} | $

• \(f\) est continue à droite (resp. à gauche) si on rajoute la condition \(x \geqslant {x_0}\) (resp. \(x \leqslant {x_0}\)).

Conséquences

• \(f\) est continue en \({x_0}\) si et seulement si \(f\) est continue à droite et à gauche en \({x_0}\).

• \(f\) est continue sur I si et seulement si \(f\) est continue en tout point de \(I\).

Exemple

2.1.1 Opérations sur les fonctions continues

2.1.2 Prolongement par continuité

Si \(f\) est une fonction définie sur \(I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) et si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( * \right) = a\), on dit que \(g\) est un prolongement par continuité de \(f\) en \({x_0}\) si et seulement si \(g\left( x \right) = f\left( x \right)\) \(\forall x \ne {x_0}\) et \(g\left( {{x_0}} \right) = a\).

Exemple

2.2.1 Théorème des valeurs intermédiaires

2.2.2 Théorème de la bijection réciproque

L’astuce consiste ici à multiplier par la quantité conjuguée

\(f\left( x \right) = \sqrt {x + 4} - \sqrt x = \frac{{\left( {\sqrt {x + 4} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + 4} + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt {x + 4} + \sqrt x }}\)

Le numérateur est alors du type \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}\), d’où :

\(f\left( x \right) = \frac{{\left( {x + 4} \right) - x}}{{\sqrt {x + 4} + \sqrt x }} = \frac{4}{{\sqrt {x + 4} + \sqrt x }}\)

$_{x + } + x = + $, donc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0\) Graphe