Chapitre 2 — Applications linéaires

Introduction

Les applications linéaires constituent un chapitre considérable des mathématiques modernes, tant par sa densité au-delà de son développement propre : calcul matriciel ; théorie des déterminants ; formes quadratiques ; espaces fonctionnels… ; que par l’importance de son emploi dans les autres sciences : Recherche opérationnelle ; Sciences économiques ; Mécanique quantique ; Théorie de la relativité ; Biologie (dynamique des populations)… Ceci est dû, en particulier, aux nombreuses interventions des systèmes d’équations algébriques, différentielles ou aux dérivées partielles, dont la résolution utilise les applications linéaires et le calcul matriciel qui leur est lié (voir chapitre 3). Source : http://www.chronomath.com/.

Considérons deux ensembles non vides quelconque \(E\) et \(F\). Supposons qu’à chaque élément de \(E\) on fasse correspondre un unique élément de \(F\). L’ensemble de ces correspondances est appelé une application de \(E\) vers F ; on la note \[f:E \to F\]. On note également \[f\left( a \right)\] l’élément de \(F\) associé à \[a \in E\].

Dans le cours d’analyse nous avions également parlé d’applications (que nous avions désigné sous le terme fonctions) mais de \[\mathbb{R}\] dans \[\mathbb{R}\], c’est-à-dire des applications réelles d’une variable réelle.

Supposons que les deux ensembles non vides quelconques \(E\) et \(F\) sont munis chacun d’une loi de composition interne: \[\left( {E, \wedge } \right)\] et \[\left( {F, \vee } \right)\]. On dit que \[f:E \to F\] est un morphisme (on dit encore homomorphisme) lorsque :

\[\forall \left( {a,b} \right) \in E\], \[f\left( {a \wedge b} \right) = f\left( a \right) \vee f\left( b \right)\]

On désigne alors par endomorphisme de \[\left( {E, \wedge } \right)\] un morphisme de \[\left( {E, \wedge } \right)\] dans lui-même ; par isomorphisme un morphisme bijectif ; et par automorphisme un endomorphisme bijectif.

Les applications linéaires sont des morphismes d’espace vectoriel, c’est-à-dire des applications d’un espace vectoriel dans un autre espace vectoriel. C’est tout l’objet de ce chapitre 2.

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1 Généralités

Définition

Soient* E* et* F* deux espaces vectoriels sur \[\mathbb{R}\] et \(f\) une application de* E* dans* F*. On dit que \(f\) est une application linéaire si et seulement si l’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images.

Autrement dit :

\[\forall \vec x,\vec y \in E\] et \[\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R}\], \[f\left( {\lambda \vec x + \mu \vec y} \right) * \lambda f\left( {\vec x} \right) + \mu f\left( {\vec y} \right)\]

Et plus généralement :

\[\forall {\vec x_1}, \ldots ,{\vec x_n} \in E\], \[\forall {\lambda _1}, \ldots ,{\lambda _n} \in \mathbb{R}\], \[f\left( {{\lambda _1}{{\vec x}_1} + \ldots + {\lambda _n}{{\vec x}_n}} \right) = {\lambda _1}f\left( {{{\vec x}_1}} \right) + \ldots + {\lambda _n}f\left( {{{\vec x}_n}} \right)\]

Théorème

Soient* E* et* F* deux espaces vectoriels sur \[\mathbb{R}\] et \(f\) une application de* E* dans* F*. \(f\) est une application linéaire si et seulement si :

1. \[\forall \vec x,\vec y \in E\], \[f\left( {\vec x + \vec y} \right) = f\left( {\vec x} \right) + f\left( {\vec y} \right)\]

2. \[\forall \vec x \in E\], \[\forall \lambda \in \mathbb{R}\], \[f\left( {\lambda \vec x} \right) = \lambda f\left( {\vec x} \right)\] *

Remarques

« On dira donc que \(f\) est linéaire si elle conserve les deux opérations de base d’un espace vectoriel c’est-à-dire l’addition et la multiplication par un scalaire.

« En remplaçant \[\lambda \] par 0 dans (ii), on obtient que \[f\left( {\vec 0} \right) = \vec 0\] : l’image du vecteur nul par toute application linéaire est égale au vecteur nul.

« L’ensemble des applications linéaires de* E* dans* F* est noté \[L\left( {E,F} \right)\].

Exemples

1. Montrer que \[f:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^2}\] définie par \(\vec x = \left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right) \mapsto f\left( {\vec x} \right) = \left( {{x_1} - {x_2},2{x_2} + 3{x_3}} \right)\) est bien une application linéaire. Réponse.
2. Soit \[{C^n}\left( {\mathbb{R},\mathbb{R}} \right)\] l’espace vectoriel des fonctions réelles d’une variable réelles continue, \(n\)-fois dérivables et à dérivées toutes continues. Montrer que l’application \[D:{C^n}\left( {\mathbb{R},\mathbb{R}} \right) \to {C^{n - 1}}\left( {\mathbb{R},\mathbb{R}} \right)\] qui à toute fonction \(f\) de \[{C^n}\left( {\mathbb{R},\mathbb{R}} \right)\] associe sa dérivée est linéaire. Réponse.
3. Montrer que la translation définie \[{\mathbb{R}^2}\] dans \[{\mathbb{R}^2}\] par \[f\left( {x,y} \right) = \left( {x + 1,y + 2} \right)\] n’est pas une application linéaire. Réponse.

Définition

On appelle application identité \[I{d_E}:E \to E\], l’application telle que \[\forall \vec u \in E\], \[I{d_E}\left( {\vec u} \right) = \vec u\] ; C’est une application linéaire.

2 Image et noyau d’une application linéaire

Proposition 1

Soit \(f\) :* E* ®* F* une application linéaire. L’ensemble des images des éléments de* E, \[f\left( E \right)\], est un sous-espace vectoriel de F* appelé image de l’application linéaire \(f\) et noté \[\operatorname{Im} f\].

\[\vec v \in \operatorname{Im} f \Leftrightarrow \exists \vec u \in E/\vec v = f\left( {\vec u} \right)\] *

Remarque

• \[\operatorname{Im} f\]est une partie de* F* : \[\operatorname{Im} f \subseteq F\]

• La dimension de \[\operatorname{Im} f\] est appelée rang de \(f\) : \[rg\left( f \right) = \dim \left( {\operatorname{Im} f} \right)\]. *

Proposition 2

Soit \(f\) :* E* ®* F* une application linéaire. Alors \[f\left( E \right) * \operatorname{Im} f\] est un espace-vectoriel. *

Démonstration *

Proposition 3

Soit \(f\) :* E* ®* F. L’ensemble défini par \[\ker f = \left\{ {\vec u \in E/f\left( {\vec u} \right) = \vec 0} \right\}\] est un sous-espace vectoriel de E* appelé noyau de l’application linéaire \(f\). (ker = kernel qui veut dire noyau en anglais).

Remarque

\[\ker f\]* est une partie de E* : \[\ker f \subseteq E\].

Exemple 2 ( très important)

Soit \($\begin{array}{*{20}{c}}\)

• {f:}&{{^3}}& &{{^3}}$

\(\end{array}\)$ définie par :

\[\vec u = \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right) \mapsto f\left( {\vec u} \right) = \left( {{u_1} + 2{u_2} - {u_3},{u_2} + {u_3},{u_1} + {u_2} - 2{u_3}} \right)\].

Déterminer \[\operatorname{Im} f\] et \[\ker f\]. Réponse.

3 Image d’une famille de vecteurs

4 Opérations sur les applications linéaires

Proposition

\[L\left( {E,F} \right)\] muni des deux lois suivantes :

• \[\forall f,g \in L\left( {E,F} \right)\], \[f + g \in L\left( {E,F} \right)\] (loi de composition interne)

• \[\forall f \in L\left( {E,F} \right)\], \[\forall \lambda \in \mathbb{R}\], \[\lambda f \in L\left( {E,F} \right)\] (loi de composition externe)

est un espace vectoriel.

Définition * Proposition

Soient* E, F, G*, trois espaces vectoriels, soient \[f \in L\left( {E,F} \right)\] et \[g \in L\left( {F,G} \right)\]. On définit la composée de deux applications linéaires \(f\) et \(g\) notée \(g\)$ \[f$ comme l’application \]h L( {E,G} )\[ qui à \]u\[ Î* E* associe \]g( {f( {u} )} )$$ :

\($\begin{gathered}\)

• h:EFG \$

• u;f( {u} ); ;g( {f( {u} )} ) = h( {u} ) \$

$\end{gathered} $$

Remarques

1. \[g \circ f\] signifie que l’on applique d’abord \(f\) puis ensuite \(g\).
2. La composition n’est possible que si l’ensemble d’arrivée de \(f\) est inclus dans l’ensemble de départ de \(g\).
3. Si \[g \circ f\] existe, \[f \circ g\] n’existe pas forcément.
4. Si \[f \circ g\] existe, alors généralement \[g \circ f \ne f \circ g\]

Exemple 3

Soient deux applications linéaires définies par :

\($\begin{array}{*{20}{l}}\)

• {f:}&{{^2}}& &{{^2}} \$

• {}&{( {{u_1},{u_2}} )}& &{( {3{u_1} + {u_2},{u_1} - {u_2}} )}$

\(\end{array}\)$ \($\begin{array}{*{20}{l}}\)

• {g:}&{{^2}}& &{{^2}} \$

• {}&{( {{v_1},{v_2}} )}& &{( {{v_1} + 2{v_2}, - 3{v_1} + {v_2}} )}$

\(\end{array}\)$

Calculer quand c’est possible \[g \circ f\] et \[f \circ g\]. Réponse.

Remarque

Il est facile de démontrer que \[h = g \circ f\] est bien une application linéaire :

\[h\left( {\lambda \vec u + \mu \vec v} \right) = g\left( {f\left( {\lambda \vec u + \mu \vec v} \right)} \right) * g\left( {\lambda f\left( {\vec u} \right) + \mu f\left( {\vec v} \right)} \right)\] car \(f\) est linéaire.

\[h\left( {\lambda \vec u + \mu \vec v} \right) = g\left( {\lambda f\left( {\vec u} \right)} \right) + g\left( {\mu f\left( {\vec v} \right)} \right) = \lambda g\left( {f\left( {\vec u} \right)} \right) + \mu g\left( {f\left( {\vec v} \right)} \right)\] car \(g\) est linéaire.

\[h\left( {\lambda \vec u + \mu \vec v} \right) = \lambda h\left( {\vec u} \right) + \mu h\left( {\vec v} \right)\]

Théorème

\[f \circ \left( {{g_1} + {g_2}} \right) = \left( {f \circ {g_1}} \right) + \left( {f \circ {g_2}} \right)\]

\(\left( {{f_1} + {f_2}} \right) \circ g = \left( {{f_1} \circ g} \right) + \left( {{f_2} \circ g} \right)\)

\[\lambda \left( {f \circ g} \right) = \left( {\lambda f} \right) \circ g = f \circ \left( {\lambda g} \right)\]

5 Réciproque d’une application linéaire bijective

Lorsque \(f\) est bijective, tout \[\vec v\]Î* F* possède un antécédent unique \[\vec u\] par \(f\) dans* E*.

Définition

On appelle application réciproque de \(f\), notée \[{f^{ - 1}}\], l’application qui à \[\vec v\] associe \[\vec u\] ; c’est une application linéaire : \[{f^{ - 1}} \in L\left( {F,E} \right)\].

Remarque

\($\begin{array}{*{20}{l}}\)

• {f:}&E& &F \$

• {}&{u}& &{v = f( {u} )}$

\(\end{array}\)$ \($\begin{array}{*{20}{l}}\)

• {{f^{ - 1}}:}&F& &E \$

• {}&{v}& &{u = {f^{ - 1}}( {v} )}$

\(\end{array}\)$

Propriété

\[f \circ {f^{ - 1}} = I{d_F}\] et \[{f^{ - 1}} \circ f = I{d_E}\], ce qui peut aussi se traduire comme suit :

\($\begin{array}{*{20}{l}}\)

• {f :}&F&{}&E&{}&F \$

• {{f^{ - 1}} f:}&E&{}&F&{}&E$

\(\end{array}\)$

Exemple 4 : Déterminer l’application réciproque de f définie par

\($\begin{array}{*{20}{l}}\)

• {f:}&{{^2}}& &{{^2}} \$

• {}&{( {{u_1},{u_2}} )}& &{( {{v_1},{v_2}} ) = ( {2{u_1} - {u_2},{u_1}} )}$

\(\end{array}\)$ Réponse

6 Projecteurs et involutions