Chapitre 1 - Fonctions – Généralités

1.1 Intervalles – voisinage

\(a\) et \(b\) étant deux réels, l’ensemble \(\left\{ {x \in \mathbb{R}/a < x < b} \right\}\) est l’intervalle ouvert noté \(\left] {a,b} \right[\) ;

\(a\) et \(b\) sont les bornes de l’intervalle.

L’ensemble \(\left\{ {x \in \mathbb{R}/a \leqslant x \leqslant b} \right\}\) est l’intervalle fermé noté \(\left[ {a,b} \right]\), bornes comprises.

Les intervalles \(\left] {a,b} \right]\) (\(a < x \leqslant b\)) et \(\left[ {a,b} \right[\) (\(a \leqslant x < b\)) sont semi-ouverts (ou semi-fermés).

Par extension, on a :

\(x \in \left[ {a, + \infty } \right[ \Leftrightarrow x \geqslant a\) ceci qui s’écrit aussi \(\left[ {a, + \infty } \right[ = \left\{ {x \in \mathbb{R}/x \geqslant a} \right\}\)

\(x \in \left] {a, + \infty } \right[ \Leftrightarrow x > a\)

\(x \in \left] { - \infty ,a} \right] \Leftrightarrow x \leqslant a\)

\(x \in \left] { - \infty ,a} \right[ \Leftrightarrow x < a\)

L’intervalle \(\left] * - \infty , + \infty \right[\) est exactement égal à \(\mathbb{R}\). On note \(\bar{\mathbb{R}}= \mathbb{R} \cup \left\{ { - \infty , + \infty } \right\}\).

Dans ce cours, on appellera voisinage de \(a\), \(a \in \mathbb{R}\), tout intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\) contenant \(a\). Ainsi, \(\forall {\alpha _0} > 0\), \(\left] {a - {\alpha _0},a + {\alpha _0}} \right[\) est un voisinage de \(a\).

1.2 Fonctions réelles d’une variable réelle

Une fonction (ou application) réelle d’une variable réelle est une transformation qui à tout élément d’une partie (souvent appelée domaine) \(D \subset \mathbb{R}\) fait correspondre un unique élément de \(\mathbb{R}\). Ainsi :

\(\forall x \in D\), \(\exists !y \in \mathbb{R}\) tel que \(y = f\left( x \right)\)

Par exemple, la température d’une espèce de lézard (\(y\)) en fonction de la température de l’air à l’ombre (\(x\)) est approximativement :

\(y = f\left( x \right) = x\) *

La température (\(y\)) d’une souris dans les mêmes conditions sera approximativement :

\(y = g\left( x \right) = c\) avec \(c\) constante

\(D\) (souvent noté \({D_f}\)) est l’ensemble de définition (ou ensemble de départ) de \(f\). \(D\) est le plus souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles.

\(f\left( D \right)\) est l’ensemble d’arrivée de \(f\) ou image de \(D\) par \(f\) :

\(f\left( D \right) \subseteq \mathbb{R}\) et \(f\left( D \right) = \left\{ {f\left( x \right)/x \in D} \right\}\)

1.3 Graphe d’une fonction

Le graphe d’une fonction \(f\) (ou courbe représentative de \(f\)) dans un repère cartésien \(\left( {Ox,Oy} \right)\), en général orthonormé, est l’ensemble des points de coordonnées \(\left( {x,y = f\left( x \right)} \right)\), avec \(x \in D\) domaine de définition de \(f\) : \[{\text{Graphe}}\left( f \right) = \left\{ {\left( {x,f\left( x \right)} \right)/x \in {D_f}} \right\}\].

Exemple :

Définition 1 :

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(I \subseteq \mathbb{R}\) :

1. \(f = g \Leftrightarrow \forall x \in I,f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

2. \(\forall x \in I,\left( {f + g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\)

3. \(\forall x \in I,\left( {fg} \right)\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right)\)

4. \(\forall x \in I,\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) si \(\forall x \in I,g\left( x \right) \ne 0\). *

Définitions 2 :

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(I \subseteq \mathbb{R}\) :

1. Si \(f\) est inversible (\(\forall x \in I,f\left( x \right) \ne 0\)), \(\forall x \in I,\left( {\frac{1}{f}} \right)\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\).

2. \(\forall x \in I,\forall \alpha \in \mathbb{R}\quad \left( {\alpha f} \right)\left( x \right) = \alpha f\left( x \right)\).

3. \(\forall x \in I,\left( { - f} \right)\left( x \right) = - f\left( x \right)\)

Définition 3

Soit \(f\) une fonction définie sur \(I \subseteq \mathbb{R}\). Quand elle existe, la fonction \((1/f)\) est appelée fonction inverse de \(f\) ; la fonction \(\left( - f \right)\) est appelée fonction opposée de \(f\).

Remarque

3.1 Fonction composée

Définition :

Soient deux fonctions, \(f\) définie sur un intervalle \(I \subseteq \mathbb{R}\) et \(g\) définie sur un intervalle \(J \subseteq \mathbb{R}\) tel que \(\forall x \in I,f\left( x \right) \in J\) (i.e., \(f\left( * \right) \subseteq J\)).

La fonction composée \(g \circ f\) est la fonction définie sur \(I\) par \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right)\) : * \(x\xrightarrow{f}f\left( x \right)\xrightarrow{g}g\left( {f\left( x \right)} \right) = \left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\)

où \(x \in I\) et \(f\left( x \right) \in J\), afin que \(g\left( {f\left( x \right)} \right)\) existe.

3.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité

• On dit qu’une fonction \(f:I \to J\) est injective si tout élément de \(f\left( * \right)\) est l’image d’un seul élément de \(I\). Autrement dit, \(f\) est injective si et seulement si : \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow {x_1} = {x_2}\) L’injectivité d’une fonction se traduit également par le fait que « tout élément de \(J\) admet au plus un antécédent par \(f\) dans \(I\) ».

• On dit qu’une fonction \(f:I \to J\) est surjective si \(f\left( * \right) = J\), autrement dit si tout élément de \(J\) est l’image par \(f\) d’au moins un élément de \(I\).

Remarque : La fonction \(f:I \to f\left( I \right)\) est toujours surjective.

• On dit qu’une fonction \(f:I \to J\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

3.3 Fonction réciproque

3.3.3 Application : définition de la fonction racine carrée

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(y = f\left( x \right) = {x^2}\)

Nous avons vu plus haut que la fonction \(f\) n’est pas bijective puisqu’à une valeur de \(y\) correspondent deux valeurs de \(x\) ; par conséquent elle n’admet pas de fonction réciproque.

Par contre, si on réduit l’ensemble de définition soit à \({\mathbb{R}^ * }\) (\(\left[ {0; + \infty } \right[\)) soit à \({\mathbb{R}^ - }\) (\(\left] { - \infty ;0} \right]\)), la même fonction \(f\) devient bijective, et admet alors une fonction réciproque.

Par convention, on choisit \(I = {\mathbb{R}^ + }\), et on appelle racine carrée de \(x\), notée $x $ cette fonction réciproque. D’où :

\(\left. \begin{gathered} y = {x^2}\\ x \geqslant 0\\ \end{gathered} \right \} \Leftrightarrow x = \sqrt y\)

Une méthode fort ancienne (que l’on doit à Héron d’Alexandrie) permet d’extraire la racine carrée d’un nombre quelconque par un procédé itératif, autrement dit « comment calcule-t-on rapidement une racine carrée lorsque les batteries de la calculette sont épuisées? ».

4.1 Comparer, majorer, minorer des nombres réels

4.2 Comparer, majorer, minorer des fonctions réelles

Définition :

Pour toutes fonctions \(f:I \to \mathbb{R}\) et \(g:I \to \mathbb{R}\), \(f \leqslant g\) signifie que \(\forall x \in I{\text{, }}f\left( x \right) \leqslant g\left( x \right)\).

Définitions :

Soit \(f:I \to \mathbb{R}\).

• On dit que \(f\) est majorée, s’il existe un réel \(M\) tel que \(\forall x \in I,{\text{ }}f\left( x \right) \leqslant M\). Dans ce cas, on appelle borne supérieure de \(f\) sur l’intervalle \(I\), noté \(\mathop {\sup }\limits_I f\), le plus petit majorant de \(f\).

• On dit que \(f\) est minorée, s’il existe un réel \(m\) tel que \(\forall x \in I,{\text{ }}f\left( x \right) \geqslant m\). Dans ce cas, on appelle borne inférieure de \(f\) sur l’intervalle \(I\), noté \(\mathop {\inf }\limits_I f\), le plus grand minorant de \(f\).

• On dit que \(f\) est bornée, si \(f\) est à la fois majorée et minorée. \(f\) est donc bornée s’il existe deux réels \(M\) et \(m\) tels que \(\forall * \in I,{\text{ }}m \leqslant f\left( x \right) \leqslant M\).

Remarques : Soient \(f:I \to \mathbb{R}\) et \(g:I \to \mathbb{R}\).

1. \(f\) est bornée si et seulement si \(\left| f \right|\) est majorée.

2. Si \(f\) et \(g\) sont majorées, alors \(f + g\) est majorée : \(\mathop {\sup }\limits_I \left( {f * g} \right) \leqslant \mathop {\sup }\limits_I f + \mathop {\sup }\limits_I g\)

3. Si \(f\) et \(g\) sont minorées, alors \(f + g\) est minorée : \(\mathop {\inf }\limits_I \left( {f * g} \right) \geqslant \mathop {\inf }\limits_I f + \mathop {\inf }\limits_I g\)

4. \(f\) est majorée (respectivement minorée) si et seulement si \(\left( - f} \right)\) est minorée (resp. majorée) : \(\mathop {\sup }\limits_I \left( { - f} \right) = - \mathop {\inf }\limits_I f\) (resp. \(\mathop {\inf }\limits_I \left( { - f} \right) = - \mathop {\sup }\limits_I f\)).

5. Soit un réel \(\alpha > 0\). Si \(f\) est majorée (respectivement minorée), alors \(\alpha f\) est majorée (respectivement minorée) : \(\mathop {\sup }\limits_I \left( {\alpha f} \right) = \alpha \mathop {\sup }\limits_I f\) (\(\mathop {\inf }\limits_I \left( {\alpha f} \right) = \alpha \mathop {\inf }\limits_I f\)).

6. Si \(f\) et \(g\) sont bornées, alors \(\forall \left( {\alpha ,\beta } \right) \in {\mathbb{R}^2}\), \(\alpha f + \beta g\) est bornée.

Démonstrations

Exemple :

Soit la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f\left( x \right) = \frac{4}{{{x^2} + 4}}\).

\(f\) est-elle bornée ? Si oui, quelles sont ses bornes inférieure et supérieure ? Réponse

4.3 Extremums

Définition :

Soit \(f:I \to \mathbb{R}\). Soit \({x_0} \in \mathbb{R}\).

• On dit que \(f\) présente un maximum global en \({x_0}\) si \(\forall * \in I{\text{, }}f\left( x \right) \leqslant f\left( {{x_0}} \right)\).

• On dit que \(f\) présente un minimum global en \({x_0}\) si \(\forall * \in I{\text{, }}f\left( x \right) \geqslant f\left( {{x_0}} \right)\).

• Dans l’un de ces deux cas, on dit que \(f\) présente un extremum global en \({x_0}\).

Remarques :

1. \(f\) présente un maximum global en \({x_0}\) $ \($f\) est majorée sur \(I\) et \(\mathop {\sup }\limits_I f = f\left( {{x_0}} \right)\). On note alors \(f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\max }\limits_I f\). On dit que f atteint sa borne supérieure en \({x_0}\).

Exemple 1.

2. \(f\) présente un minimum global en \({x_0}\) $ \($f\) est minorée sur \(I\) et \(\mathop {\inf }\limits_I f = f\left( {{x_0}} \right)\). On note alors \(f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\min }\limits_I f\). On dit que f atteint sa borne inférieure en \({x_0}\).

Exemple 2.

5.1 Fonctions croissantes, décroissantes, monotones

Définitions :

Soit \(f:I \to \mathbb{R}\).

• On dit que \(f\) est croissante sur \(I\) si \(\left\{ {\left( {x,y} \right) \in {I^2}{\text{ et }}x \leqslant y} \right\}\), $ $ \(f\left( x \right) \leqslant f\left( * \right)\).

• On dit que \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(\left\{ {\left( {x,y} \right) \in {I^2}{\text{ et }}x \leqslant y} \right\}\), $ $ \(f\left( x \right) \geqslant f\left( * \right)\).

• On dit que \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si \(\left\{ {\left( {x,y} \right) \in {I^2}{\text{ et }}x < y} \right\}\), $ $ \(f\left( x \right) < f\left( y \right)\).

• On dit que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si \(\left\{ {\left( {x,y} \right) \in {I^2}{\text{ et }}x < y} \right\}\), $ $ \(f\left( x \right) > f\left( y \right)\).

• On dit que \(f\) est (strictement) monotone sur \(I\) si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante sur \(I\).

Exemple :

Considérons la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f\left( x \right) = {x^2}\).

Montrer que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \({\mathbb{R}^{ * - }} = \left] { - \infty ;0} \right[\) et strictement croissante sur \({\mathbb{R}^{ * + }} = \left] {0; * \infty } \right[\). Réponse

5.2 Somme et produit de fonctions monotones

Définition :

Soit \(f:I \to \mathbb{R}\). On dit que \(f\) est positive (respectivement négative), si \(\forall * \in I\), \(f\left( x \right) \geqslant 0\) (respectivement \(f\left( x \right) \leqslant 0\)).

Propositions : Soient \(f:I \to \mathbb{R}\) et \(g:I \to \mathbb{R}\).

1. Si \(f\) et \(g\) ont même monotonie, alors \(f + g\) est monotone de même monotonie.
   Si de plus \(f\) ou \(g\) est strictement monotone, alors \(f + g\) est strictement monotone.

2. Si \(f\) et \(g\) sont positives croissantes, alors \(fg\) est positive croissante ;
   Si \(f\) et \(g\) sont positives décroissantes, alors \(fg\) est positive décroissante.

3. Si \(f\) et \(g\) sont négatives croissantes, alors \(fg\) est positive décroissante ;
   Si \(f\) et \(g\) sont négatives décroissantes, alors \(fg\) est positive croissante.

4. Si \(f\) est positive croissante et \(g\) négative décroissante, alors \(fg\) est négative décroissante ;
   Si \(f\) est positive décroissante et \(g\) négative croissante, alors \(fg\) est négative croissante.

Exemple :

Soit \(f\) définie par \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) positive décroissante sur \(\left] {0; + \infty } \right[\) (voir proposition suivante) et \(g\) définie par \(g\left( x \right) = - \frac{1}{x}\) négative croissante sur \(\left] {0; + \infty } \right[\). Alors \(\left( {fg} \right)\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^3}}}\) est négative croissante sur \(\left] {0; + \infty } \right[\).

Remarques :

• Cas d’indétermination sur le produit de deux fonctions :

• Si \(\alpha \geqslant 0\), alors \(\alpha f\) et \(f\) ont même monotonie ;

• Si \(\alpha \leqslant 0\), alors \(\alpha f\) et \(f\) sont de monotonie contraire ; c’est le cas de \(\left( { - f} \right)\) et \(f\).

5.3 Inverse d’une fonction monotone

Proposition :

Soit \(f:I \to \mathbb{R}\) monotone. Si on suppose que \(f\) ne s’annule jamais sur \(I\), et qu’elle est de signe constant, alors la fonction inverse \(\left( {\frac{1}{f}} \right)\) est monotone sur \(I\), de monotonie contraire à celle de \(f\) et de même signe.

Exemples :

1. On retrouve le résultat de l’exercice précédent en prenant \(f\left( x \right) = {x^2}\).

2. Soit la fonction \(f\) définie par \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\). \(f\) est positive strictement croissante sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\) et ne s’y annule jamais. Par conséquent, \(\left( {\frac{1}{f}} \right)\left( * \right) = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\) est strictement décroissante sur \(\left[ {0; + \infty } \right[\). On peut faire le même raisonnement sur \(\left] { - \infty ;0} \right]\).

5.4 Composition de fonctions monotones

6.1 Fonctions paires et impaires

Soit une fonction \(f\), définie sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\) symétrique par rapport à 0 (\(x \in D \Leftrightarrow - x \in D\)).

Définition :

On dit que \(f\) est paire si \(\forall * \in D\), \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

On dit que \(f\) est impaire si \(\forall * \in D\), \(f\left( { - x} \right) = - f\left( * \right)\)

Remarque : la seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle. En effet, \(\forall x \in D\), \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\), donc \(f\left( x \right) = 0\).

Proposition :

1. Toute somme finie de fonctions impaires est une fonction impaire.

2. Toute somme finie de fonctions paires est une fonction paire.

Démonstration

Exemple :

Soit \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) et \(g\left( * \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}\).

\(f\) et \(g\) sont des fonctions paires, leur somme définie par \(h\left( x \right) = {x^2} + 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\) est aussi une fonction paire.

Propositions : Soient \(f\) et \(g\) définies sur une partie \(D\) de \(\mathbb{R}\) symétrique par rapport à 0 (\(x \in D \Leftrightarrow - x \in D\)).

1. Si \(f\) et \(g\) ont même parité, fg est paire. Si elles sont de parité contraire, fg est impaire.

2. L’application \(\frac{1}{f}\), si elle existe, est de même parité que \(f\).

3. Soit \(\left( {\alpha ,\beta } \right) \in {\mathbb{R}^2}\). Si \(f\) et \(g\) sont paires (respectivement impaires), \(\alpha * + \beta g\) est paire (respectivement impaire).

4. Si \(f\) est bijective de \(D\) dans \(D\) (\(D \subseteq \mathbb{R}\)) et impaire, alors sa bijection réciproque \({f^{ * 1}}\) est impaire.

5. Si \(f\) est paire, alors \(h \circ f\) est paire quelque soit la fonction \(h\).

6. Si \(f\) est impaire, et si g paire ou impaire, alors \(g \circ f\) à la même parité que \(g\).

Démonstration

Exemple :

Soit \(f\left( x \right) = {x^3}\). \(f\) est impaire et bijective sur \(\mathbb{R}\).

Sa fonction réciproque \(g\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\) est impaire sur \(\mathbb{R}\).

6.2 Fonctions périodiques

Définition :

Soit \(f:{D_f} \to \mathbb{R}\). S’il existe \(T \in \mathbb{R}\) strictement positif tel que \(\forall x \in {D_f}\), \(x * T \in {D_f}\) et \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\), alors la fonction \(f\) est dite périodique de période \(T\). On dit aussi que \(f\) est \(T\)-périodique.

Propriétés :

• Si \(f\) est \(T\)-périodique, alors \(\forall n \in \mathbb{Z}\), \(f\) est \(nT\)-périodique.

• Si \(f\) et g sont \(T\)-périodiques, alors \(\alpha f + \beta g\) est \(T\)-périodique, \(\forall \left( {\alpha ,\beta } \right) \in {\mathbb{R}^2}\).

• Si \(f\) est \(T\)-périodique, alors la fonction \(\frac{1}{f}\), si elle existe, est \(T\)-périodique.

• Si \(f\) est \(T\)-périodique, alors, quelque soit la fonction \(g\), \(g \circ f\) est \(T\)-périodique.

Démonstration

Exemple :

Les fonctions sinus et cosinus sont $2$-périodiques.

6.3 Axes et centres de symétrie

6.3.1 Graphes symétriques par rapport à l’origine

Soit \(f\) une fonction définie sur un domaine \(D\) de \(\mathbb{R}\) symétrique par rapport à 0 (\(x \in D \Leftrightarrow - x \in D\)).

\(f\) est impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l’origine.

Pour \(x = 0\), et si \(f\left( 0 \right)\) existe, on a \(f\left( { - 0} \right) = - f\left( 0 \right)\), d’où \(f\left( 0 \right) = - f\left( 0 \right)\) et donc \(f\left( 0 \right) = 0\).

Ceci signifie que le graphe d’une fonction impaire qui est définie en 0 passe nécessairement par l’origine.

Exemples :

1. \(f\left( x \right) = {x^3}\)

2. \(f\left( x \right) = \sin x\)

6.3.2 Graphes symétriques par rapport à Oy

Dans un repère orthonormé, soit une fonction \(f\), définie sur un domaine \(D\) de \(\mathbb{R}\) symétrique par rapport à 0 (\(x \in D \Leftrightarrow - x \in D\)).

\(f\) est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à \(Oy\).

Exemples :

3. \(f\left( x \right) = {x^2}\)

4. \(f\left( x \right) = \cos x\)

6.3.3 Graphes périodiques

Soit \(f:D \to \mathbb{R}\), le domaine étant tel que \(x \in D \Rightarrow x + T \in D\) (\(T > 0\) donné).

\(f\) est T-périodique si et seulement si son graphe est invariant par une translation de vecteur \(\left( {kT,0} \right)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\).

Exemple :

Soit \(f\left( x \right) = \tan x\)