Chapitre 1 — Espaces vectoriels

Le point sur…

Nous avons parlé en introduction des vecteurs du plan. Nous venons de voir que \({\mathbb{R}^2} = \left\{ {{{\left( {x,y} \right)} \mathord{\left/\)

\({\vphantom {{\left( {x,y} \right)} {x \in \mathbb{R}{\text{ et }}y \in \mathbb{R}}}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} {x \in \mathbb{R}{\text{ et }}y \in \mathbb{R}}}} \right\}\) est un espace vectoriel. Nous allons maintenant établir le lien que l’on peut faire entre les vecteurs du plan et les éléments de \({\mathbb{R}^2}\).

Si on munit le plan d’un repère (on parle alors de plan affine), alors chaque point du plan est repéré par des coordonnées. Si on appelle \(O\) l’origine du repère, alors pour tout vecteur \[\vec u\] du plan, il existe un unique point M de coordonnées \[\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\] tel que \[\vec u = \overrightarrow {OM} \].

Ainsi, la notation \[\vec u = \left( {x,y} \right)\] qui sera largement utilisée dans la suite de ce cours, signifie que \(x\) et \(y\) sont les coordonnées de l’extrémité du vecteur \[\vec u\] dans le plan affine. On appelle \(x\) l’abscisse et \(y\) l’ordonnée.

En conséquence, si \[\left( {a,b} \right)\] et \[\left( {c,d} \right)\] sont les coordonnées des extrémités des vecteurs \[\vec u\] et \[\vec v\], alors les coordonnées de l’extrémité du vecteur \[\vec u + \vec v\] seront \[\left( {a + c,b + d} \right)\]. De même, les coordonnées de l’extrémité du vecteur \[k\vec u\], \[k \in \mathbb{R}\], seront \[\left( {ka,kb} \right)\].

4.1 Famille libre et famille liée

Définition 1 :

Soit \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] une famille de vecteurs d’un espace vectoriel \(E\). On dit que cette famille est libre si et seulement si : \[{\lambda _1}{\vec u_1} + \ldots + {\lambda _p}{\vec u_p} = \vec 0 \Rightarrow {\lambda _1} = \ldots = {\lambda _1} = 0\]. On dit alors que les vecteurs \[{\vec u_i}\], \[i = 1,p\], sont linéairement indépendants.

Définition 2 :

Une famille qui n’est pas libre est dite liée; les vecteurs \[{\vec u_i}\], \[i * 1,p\], sont alors linéairement dépendants ou liés.

Remarques

· Si \[\vec 0\] est l’un des vecteurs \[{\vec u_i}\], par exemple \({\vec u_1} = \vec 0\), alors la famille des vecteurs \[{\vec u_i}\], \[i = 1,p\], est nécessairement liée, et les vecteurs \[{\vec u_i}\] sont linéairement dépendants. Justifier.

· Si deux des vecteurs \[{\vec u_i}\] sont égaux ou multiples l’un de l’autre, par exemple \[{\vec u_1} = k{\vec u_2}\] avec \[k \ne 0\], alors les vecteurs \[{\vec u_i}\], \[i * 1,p\], sont linéairement dépendants. Justifier.

· Deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement si ils sont multiples l’un de l’autre. On dit qu’ils sont colinéaires.

Exemples

1. La famille \[\left\{ {\left( {2, - 4} \right),\left( { - 1,2} \right),\left( {0,1} \right)} \right\}\] est-elle libre ? Réponse.
2. Montrer que la famille \[\left\{ {\left( {3, - 8, - 1} \right),\left( {0,2,1} \right),\left( { - 1,4,1} \right)} \right\}\] est liée. Réponse.

4.2 Combinaisons linéaires et dépendance linéaire

Proposition

Une famille \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] est liée si et seulement si l’un au moins des vecteurs s’écrit comme une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.

Conséquence

Si la famille \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] est liée, alors les vecteurs \[{\vec u_i}\], \[i = 1,p\], sont linéairement dépendants, c’est-à-dire qu’il existe des \[{\lambda _i}\], non tous nuls tels que \[{\lambda _1}{\vec u_1} * \ldots + {\lambda _p}{\vec u_p} = \vec 0\]. Ainsi, en supposant que \[{\lambda _1} \ne 0\], on peut écrire :

\[{\vec u_1} = - \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}}{\vec u_2} - \ldots - \frac{{{\lambda _p}}}{{{\lambda _1}}}{\vec u_p}\]

\[{\vec u_1}\] est bien une combinaison linéaire des autres vecteurs \[{\vec u_2}, \ldots ,{\vec u_p}\].

5.1 Somme de deux sous-espaces vectoriels

Définition

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel \(E\).

La somme de \(F\) et \(G\), qui s’écrit \[F + G\], est l’ensemble constitué de toutes les sommes \[\vec u + \vec v\] avec \[\vec u \in F\] et \[\vec v \in G\]. Ainsi \($F + G = \left\{ {{{\vec u + \vec v} \mathord{\left/\)

\({\vphantom {{\vec u + \vec v} {\vec u \in F{\text{ et }}\vec v \in G}}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} {\vec u \in F{\text{ et }}\vec v \in G}}} \right\}\)$.

Si on considère \(F\) et \(G\) comme deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel \(E\), alors :

• \[\vec 0 = \vec 0 + \vec 0 \in F + G\] car \[\vec 0 \in F\] et \[\vec 0 \in G\] ;

• Si \[{\vec u_1} + {\vec v_1}\] et \[{\vec u_2} + {\vec v_2}\] appartiennent à \[F + G\], avec \[{\vec u_1},{\vec u_2} \in F\] et \[{\vec v_1},{\vec v_2} \in G\], alors :

\[\left( {{{\vec u}_1} + {{\vec v}_1}} \right) + \left( {{{\vec u}_2} + {{\vec v}_2}} \right) = \left( {{{\vec u}_1} + {{\vec u}_2}} \right) + \left( {{{\vec v}_1} + {{\vec v}_2}} \right) \in F + G\]

• Enfin, pour tout scalaire \[k \in \mathbb{R}\], il vient :

\[k\left( {{{\vec u}_1} + {{\vec v}_1}} \right) = k{\vec u_1} + k{\vec v_1} \in F + G\]

Tout ceci permet d’en arriver au théorème suivant :

Théorème 1

La somme de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel \(E\) est aussi un sous-espace vectoriel de \(E\).

Théorème 2

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de \(E\). Alors \[F + G\] est de dimension finie et :

\[\dim \left( {F + G} \right) = \dim \left( F \right) + \dim \left( G \right) - \dim \left( {F \cap G} \right)\] *

Exemple

Considérons l’espace vectoriel \[{\mathbb{R}^3}\]. Soient \($F = \left\{ {{{\left( {x,y,z} \right)} \mathord{\left/\)

\({\vphantom {{\left( {x,y,z} \right)} {z = 0}}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} {z = 0}}} \right\}\)$ et \($G = \left\{ {{{\left( {x,y,z} \right)} \mathord{\left/\)

\({\vphantom {{\left( {x,y,z} \right)} {x = 0}}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} {x = 0}}} \right\}\)$. Donner la dimension de \[F \cap G\]. Réponse.

5.2 Somme directe

Définition

L’espace vectoriel \(E\) est dit la somme directe des sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\), et on note \[E = F \oplus G\], si chaque vecteur \[\vec x \in E\] s’écrit d’une manière unique sous la forme \[\vec x = \vec u + \vec v\] avec \[\vec u \in F\] et \[\vec v \in G\].

Théorème

L’espace vectoriel \(E\) est la somme directe des deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) si et seulement si \[E = F + G\] et \[F \cap G = \left\{ {\vec 0} \right\}\].

Exemples

1. Considérons l’espace vectoriel \[{\mathbb{R}^3}\]. Considérons les deux sous-espaces vectoriels \[F = \left\{ {{{\left( {x,y,z} \right)} \mathord{\left/$</li> <li>${\vphantom {{\left( {x,y,z} \right)} {z = 0}}} \right.$</li> <li>$\kern-\nulldelimiterspace} {z = 0}}} \right\}\] et \[G = \left\{ {{{\left( {x,y,z} \right)} \mathord{\left/$</li> <li>${\vphantom {{\left( {x,y,z} \right)} {x = 0}}} \right.$</li> <li>$\kern-\nulldelimiterspace} {x = 0}}} \right\}\]. Montrer que \(F\) et \(G\) ne sont pas en somme directe. Réponse.
2. Considérons l’espace vectoriel \[{\mathbb{R}^3}\]. Considérons les deux sous-espaces vectoriels \[F' = \left\{ {{{\left( {x,y,z} \right)} \mathord{\left/$</li> <li>${\vphantom {{\left( {x,y,z} \right)} {z = 0}}} \right.$</li> <li>$\kern-\nulldelimiterspace} {z = 0}}} \right\}\] et \[G' = \left\{ {{{\left( {x,y,z} \right)} \mathord{\left/$</li> <li>${\vphantom {{\left( {x,y,z} \right)} {x = y = 0}}} \right.$</li> <li>\]-} {x = y = 0}}} }\[. Montrer que \]{^3} = F’ G’$$. Réponse.

Propriété

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). La somme de \(F\) et \(G\) est directe si et seulement si \[\forall \vec x \in F + G\], il existe un unique couple \[\left( {\vec u,\vec v} \right) \in F \times G\] tel que \[\vec x = \vec u + \vec v\].

5.3 Sous-espaces supplémentaires

Définition

Soient \(E\) un espace vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). \(F\) et \(G\) sont dits supplémentaires dans \(E\) lorsque leur somme est directe et égale à E : \[F \oplus G = E\].

Propriété

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans E si et seulement si \[E * F + G\] et \[F \cap G = \left\{ {\vec 0} \right\}\].

Exemple

Dans l’exemple ci-dessus, \($F' * \left\{ {{{\left( {x,y,z} \right)} \mathord{\left/\)

\({\vphantom {{\left( {x,y,z} \right)} {z = 0}}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} {z = 0}}} \right\}\)$ et \($G' = \left\{ {{{\left( {x,y,z} \right)} \mathord{\left/\)

\({\vphantom {{\left( {x,y,z} \right)} {x = y = 0}}} \right.\)

\(\kern-\nulldelimiterspace} {x = y = 0}}} \right\}\)$ sont supplémentaires dans \[{\mathbb{R}^3}\].

6.1 Définitions

Définition 1

Une famille de vecteurs \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] d’un espace vectoriel \(E\) est une base de \(E\) si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1. Les vecteurs \[{\vec u_i}\], \[i = 1,p\], sont linéairement indépendants : La famille \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] est libre.

2. Les vecteurs \[{\vec u_i}\], \[i = 1,p\], engendrent \(E\) : La famille \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] est génératrice.

Définition 2

Une famille de vecteurs \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] est une base de l’espace vectoriel \(E\) si tout \[\vec x \in E\] peut s’écrire de manière unique comme une combinaison linéaire des \[{\vec u_i}\].

Conséquence

Un espace vectoriel \(E\) est dit de dimension finie \(n\), et on écrit \[\dim \left( E \right) = n\], si \(E\) admet une base de \(n\) vecteurs.

Théorème 1

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie. Alors toute base de \(E\) a le même nombre d’éléments.

Remarques

« L’espace vectoriel \[\left\{ 0 \right\}\] est défini par sa dimension 0.

« Si un espace vectoriel n’est pas de dimension finie, on dit qu’il est de dimension infinie.

Théorème 2

Dans un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, il existe toujours des bases.

Proposition

Soit \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] une base de \(E\). Alors :

\[\exists \;!\;\left( {{a_1}, \ldots ,{a_p}} \right) \in {\mathbb{R}^p}\] tel que \[\vec x = \sum\limits_{i = 1}^p {{a_i}{{\vec u}_i}} \]

Les réels \[\left( {{a_1}, \ldots ,{a_p}} \right)\] sont appelées les coordonnées (on dit aussi composantes) de \[\vec x\] relativement à la base \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\].

Remarque

L’existence de la décomposition pour tout \[\vec x \in E\] vient du fait que la famille \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] est génératrice ; l’unicité du fait que la famille \[\left\{ {{{\vec u}_1}, \ldots ,{{\vec u}_p}} \right\}\] est libre.

Exemples

1. Montrer que la famille \[\left\{ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right\}\] avec \[{\vec u_1} = \left( {1,2} \right)\] et \[{\vec u_2} = \left( { - 1,0} \right)\] est une base de \[{\mathbb{R}^2}\]. Réponse.

2. Montrer que la famille \[\left\{ {{{\vec e}_1},{{\vec e}_2},{{\vec e}_3}} \right\}\] telle que \[{\vec e_1} = \left( {1,0,0} \right)\], \[{\vec e_2} = \left( {0,1,0} \right)\] et \[{\vec e_3} = \left( {0,0,1} \right)\], est une base de \[{\mathbb{R}^3}\]. Réponse.

Définition

\[\left\{ {{{\vec e}_1},{{\vec e}_2},{{\vec e}_3}} \right\}\] forment une base de \[{\mathbb{R}^3}\]. Cette base est dite canonique.

En généralisant à \[{\mathbb{R}^p}\], l’ensemble des vecteurs \[\left\{ {{{\vec e}_1},{{\vec e}_2}, \ldots ,{{\vec e}_p}} \right\}\] tels que \[{\vec e_i}\] a toutes ses composantes nulles sauf en \(i\)^ème position où elle est égale à 1 forme la base canonique de \[{\mathbb{R}^p}\].

Corollaire (des théorèmes 1 et 2)

Dans un espace vectoriel de dimension \(p\) :

• Toute famille de plus de \(p\) éléments est liée.

• Toute famille de moins de \(p\) éléments ne peut être génératrice.

• Toute famille libre de \(p\) éléments forme une base.

• Toute famille génératrice de \(p\) éléments forme une base.

Remarque

Les deux dernières propriétés énoncées dans le corollaire signifie que si \[\dim \left( E \right) = p\], pour toute famille de \(p\) vecteurs, libre \[ \Leftrightarrow \] génératrice \[ \Leftrightarrow \] base (une des deux propriétés suffit).

Exemples

1. Déterminer la dimension de \[{\mathbb{R}^3}\]. Réponse.
2. Déterminer la dimension de \[{{\mathbf{P}}_n}\left[ X \right]\]. Réponse.

Définition

Dans le cas général, on a \(\dim {\mathbb{R}^p} = p\).

6.2 Dimension et sous-espace

Théorème

Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\). Alors \[\dim \left( F \right) \leqslant n\].

En particulier si \[\dim \left( F \right) = n\], alors nécessairement \[F = E\]. *

Exemple

Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \[{\mathbb{R}^3}\]. Alors la dimension de \(F\) ne peut être qu’égale à 0, 1, 2 ou 3 :

« Si \[\dim \left( F \right) = 0\], alors \(F\) est réduit à l’origine ;

« Si \[\dim \left( F \right) = 1\], alors \(F\) est une droite issue de l’origine ;

« Si \[\dim \left( F \right) = 2\], alors \(F\) est un plan passant par l’origine ;

« Si \[\dim \left( F \right) = 3\], alors \(F\) est égal à \[{\mathbb{R}^3}\] tout entier.

7.1 Les oiseaux nicheurs rhônalpins

Unnamed Image

L’ouvrage de Lebreton, P. (1977)[1] sur les oiseaux nicheurs rhônalpins met à disposition sous la forme d’un tableau un relevé de mesures réalisées sur le terrain : * *

Unnamed Image

Lieu

A

B

C

D

E

F

G

1

-6.6

1.1

9.7

22.9

131.5

139.5

1597

2

-7.5

0.1

8.2

20.8

115

145

1613

3

-8.5

-0.1

8.6

22

113

146.5

1738

4

-9.2

-1.7

6.5

17.3

103

138

1630

5

-8

0.2

7.5

21.6

110

129

1492

6

-7.8

0.5

8.6

21

113

130

1415

7

-2.9

2.8

11.5

19.8

188.5

141.5

1849

8

-8.4

-1

8.3

21.1

100

120

1473

9

-6.8

2.3

8.8

21.4

100

85

978.5

10

-6.8

0.8

9.5

22.8

75

38

784.5

11

-6.3

1.9

8.1

19.2

77

80.5

976

12

-4

5.5

10.5

24.2

69

79

1239

13

-7.2

1.2

9.6

22.9

65

72.5

1125

14

-10.1

0.2

5.3

19.7

65

70

1025

15

-8.9

2.2

7.6

22.7

65

41

771.5

16

-1.6

7.3

12.6

27.6

51

47.5

920

17

-4

5

10

24.5

66

57.5

1010

18

-6.6

2.8

8.9

24.7

98.5

52

1116

19

-7

1.8

8.6

21.9

112

68

1248

20

-6.3

3.5

10.5

24.3

57.5

55

767.5

21

-8.6

2.6

7.6

22.4

49.5

48.5

766.5

22

-3.4

7.3

12.5

27.4

56.5

29.5

926.5

23

-6.6

4

9.8

26

77.5

47

955

Ces données concernent 23 lieux au cœur desquels ont été mesurées les sept variables suivantes :

· \(A\) : la température minimale observée en Janvier (°C)

· B : la température maximale observée en Janvier (°C)

· \(C\) : la température minimale observée en Juillet (°C)

· \(D\) : la température maximale observée en Juillet (°C)

· \(E\) : la pluviométrie moyenne en Janvier (mm)

· \(F\) : la pluviométrie moyenne en Juillet (mm)

· \(G\) : la pluviométrie moyenne en annuelle (mm)

Ce tableau permet d’étudier les données de deux points de vue différents : dans l’espace des individus ou dans l’espace des variables. Ainsi, dans l’espace des individus, on dispose de 23 vecteurs ayant chacun sept coordonnées : on travaille dans l’espace vectoriel \[{\mathbb{R}^7}\]. Dans l’espace des variables, on dispose de sept vecteurs avec chacun 23 coordonnées : on est dans l’espace vectoriel \[{\mathbb{R}^{23}}\].

7.2 Un contre-exemple : Le champ de blé

Unnamed Image

Une plante (le blé) peut se présenter sous trois formes A1, A2, A3. On caractérise une population de cette plante (le champ de blé) par les fréquences de chacune de ces trois formes que l’on note \[{f_1},{f_2},{f_3}\] : \({f_i} = \frac{{{\text{Nombre de plantes }}{{\text{A}}_{\text{i}}}}}{{{\text{Nombre total de plantes}}}}\).

Une population se représente alors comme un vecteur de \[{\mathbb{R}^3}\] de composantes \[\left( {{f_1},{f_2},{f_3}} \right)\].

· On peut aisément montrer que \[{f_1} * {f_2} + {f_3} = 1\].

· Si on appelle \[P\] le sous-ensemble de \[{\mathbb{R}^3}\] formé de toutes les populations possibles. \[P\] est-il un sous-espace vectoriel de \[{\mathbb{R}^3}\] ?

\(1.\)\(P = \left\{ {{{\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}} \mathord{\left/\)

\(2.\)\({\vphantom {{\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}} {x + y + z = 1}}} \right.\)

3. \(\kern-\nulldelimiterspace} {x + y + z = 1}}} \right\}\)$ : \[P \subset {\mathbb{R}^3}\].

4. \[P\] est non vide : les vecteurs \[{\vec e_i}\] de la base canonique de \[{\mathbb{R}^3}\] sont éléments de \[P\].

5. Soient \[\vec x,\vec y \in P\] et \[\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\].

\[\vec * = \left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\] \(\vec y = \left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) avec \[{x_1} + {y_1} + {z_1} = 1\] et \[{x_2} + {y_2} + {z_2} = 1\]

\[\lambda \vec x + \mu \vec y = \left( {\lambda {x_1} + \mu {x_2},\lambda {y_1} + \mu {y_2},\lambda {z_1} + \mu {z_2}} \right)\]

\[\left( {\lambda {x_1} + \mu {x_2}} \right) + \left( {\lambda {y_1} + \mu {y_2}} \right) + \left( {\lambda {z_1} + \mu {z_2}} \right) = \lambda \left( {{x_1} + {y_1} + {z_1}} \right) + \mu \left( {{x_2} + {y_2} + {z_2}} \right) = \lambda * \mu \]

Or \[\lambda + \mu \ne 1\], sauf dans quelques cas particuliers : \[P\] n’est pas un sous-espace vectoriel.