Théorème :
Soit . Si f est dérivable en , alors f est continue en .
La réciproque est fausse, c’est-à-dire que la continuité n’implique pas nécessairement la dérivabilité.
Dans tout ce chapitre, on considèrera des fonctions définies sur où I est un intervalle ouvert de .
Définition 1 :
Soient et . On dit que f est dérivable au point si et seulement si la quantité admet une limite finie lorsque x tend vers .
On note alors ;
est appelé nombre dérivé ou dérivée de f en .
Définition 2 :
Soit . On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I.
Définition 3 :
Soient et . On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point si et seulement si la quantité admet une limite finie lorsque x tend vers par valeurs supérieures (resp. inférieures) :
: dérivée à droite de f en , notée aussi .
: dérivée à gauche de f en , notée aussi .
Proposition :
Soient et . f est dérivable au point si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en , et .
Définition 4 :
Soit f une fonction dérivable sur I. La fonction dérivée ou dérivée de f sur I est la fonction qui a tout x de I associe .
Définition :
Une fonction f admet un développement limité d’ordre 1 en s’il existe et une fonction définie sur un voisinage de tels que :
, avec et
Proposition :
f est dérivable en si et seulement si f admet un développement limité d’ordre 1 en . On a alors :
avec et .
Théorème :
Soit . Si f est dérivable en , alors f est continue en .
La réciproque est fausse, c’est-à-dire que la continuité n’implique pas nécessairement la dérivabilité.
On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de .
Définition :
Soit dérivable en . Alors f admet un développement limité d’ordre 1 en :
avec et
L’équation est l’équation de la tangente désignée par (T) à la courbe représentative de f, au point .
Le nombre dérivé est le coefficient directeur (ou pente) de la tangente.
Propriétés :
Soit dérivable en . Soit courbe représentative de f.
est donc la pente de la tangente (T) à au point .
(i) Si , alors (T) est une droite parallèle à l’axe des x ;
(ii) Si , alors (T) est une droite parallèle à l’axe des y.
Voir le site web.
Un formulaire récapitulatif des dérivées les plus usuelles vous est proposé sur le site web.
Proposition 1 :
La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux foctions dérivables en est dérivable en .
Par extension, la somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux fonctions dérivables sur I est dérivable sur I.
Proposition 2 :
Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur .
· la fonction est dérivable sur I et .
· La fonction est dérivable sur I et .
· Si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction est dérivable sur I avec .
· Si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction est dérivable sur I avec .
Proposition 5 :
Soient et deux fonctions telles que .
Si f est dérivable en et si g est dérivable en , alors est dérivable en et .
Par extension, si f est dérivable sur I et g dérivable sur J, alors est dérivable est dérivable sur I et .
Proposition 6 :
Soit une fonction strictement monotone et dérivable en tel que .
f est donc bijective de I sur J, et admet une fonction réciproque .
Alors est dérivable en et .
Par extension, si ne s’annule pas sur I, alors est dérivable sur J et .
Définitions 1 :
Soit . On note .
On suppose que la fonction existe et est dérivable de I dans .
On définit alors la fonction .
· Si la fonction existe, on dit que f est n-fois dérivable sur I.
· est appelée dérivée n-ième de f sur I. est également notée ou .
Remarques :
1. On utilise souvent les notations suivantes : et .
2. Si f(n) est continue sur I on dit que f est de classe Cn.
Théorème :
Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes :
- f est définie et continue sur un intervalle fermé ,
- f admet une dérivée pour toute valeur de l’intervalle ouvert ,
- f est telle que ;
Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert telle que .
Il n’y a pas obligatoirement unicité du point c.
Théorème des accroissements finis (Généralisation du théorème de Rolle) ou théorème de la moyenne :
Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes :
- f est définie et continue sur un intervalle fermé ,
- f est dérivable sur ,
Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert telle que :
Comme pour le théorème de Rolle, il n’y a pas nécessairement unicité de c.
Soit f une fonction continue sur et dérivable sur .
Propriétés :
(i) f est constante sur
(ii) f est croissante sur
(iii) f est décroissante sur
(iv) f admet un extremum en
Théorème 1 :
Soit f une fonction continue sur et dérivable sur .
S’il existe deux réels m et M tels que , , alors
Théorème 2 :
Soit f une fonction continue sur et dérivable sur .
S’il existe un réel M tels que , , alors
Théorème :
Soit f une fonction continue de dans , alors tel que .
Si de plus f est dérivable sur et que , alors c est unique.
On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de .
Une fonction est dite convexe si son graphe à la forme suivante : courbe (C).
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Dire que f est convexe signifie que pour tous les points de la courbe entre A et B, la corde est « au-dessus » de l’arc , ou bien encore que pour tout point A et B, l’arc (AB) est au-dessus de chacune des tangentes de f.
Définition 1 :
est dite convexe sur I si et seulement si :
, ,
Définition 2 :
est dite concave si la fonction est convexe.
Proposition (caractérisation de la convexité par la dérivée seconde) :
Soit deux fois dérivable. Alors f est convexe si et seulement .
Définition 3 :
Soient deux fois dérivable et , différent des bornes. On dit que est un point d’inflexion si s’annule et change de signe au point ;
On dit que la courbe représentative de f « traverse » la tangente au point .
Trois étapes sont nécessaires :
(i) Etudier les variations de la fonction f ;
(ii) Montrer qu’il existe un intervalle sur lequel f est dérivable et strictement monotone, et tel que .
(iii) Montrer simultanément que sur ;
(iv) Déterminer un encadrement de la solution à l’aide d’une calculatrice (ou d’un ordinateur !).
